Arithmetisches Mittel

20.10.2015, 22:23	Kiki95	Auf diesen Beitrag antworten »
Arithmetisches Mittel Meine Frage: Leider komme ich mit dieser Aufgabenstellung nicht so ganz zurecht: Zeigen Sie, dass das arithmetische Mittel einer Stichprobe den geringsten quadratischen Abstand zu allen Zahlen einer Stichprobe hat. (Erklärung nur mit Variablen) $\begin{eqnarray} f(A)=\sum\limits_{i=1}^{n} (x_{1} -A)^{2} = (x_{1} -A)^{2}+(x_{2} -A)^{2}+(x_{3} -A)^{2}+ ... + (x_{i} -A)^{2} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mein Ansatz wäre die erste und zweite Ableitung zu bilden. Die zweite Ableitung sollte ja positiv sein, aber kann mir jemand sagen wie ich dazu komme und wieso das so sein soll? Halt wieso mir die zweite Abl. das zeigt, dass das arithmetische Mittel den geringsten quad. Abstand hat. Danke im Voraus (:
20.10.2015, 22:56	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches Mittel zuerst muss die erste Ableitung Null sein: $\begin{eqnarray} f(A)=\sum\limits_{i=1}^{n} (x_{i} -A)^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac {\dd }{\dd A}f(A)=2\sum\limits_{i=1}^{n} (x_{i} -A)(-1) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{n} (x_{i} -A) = 0 \end{eqnarray}$ daraus folgt A = ... und die 2. Ableitung ist positiv. Warum ?
20.10.2015, 23:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann auch mit elementaren Mitteln (d.h. ganz ohne Differentialrechnung) die Darstellung $\begin{align} f(A) = n(\bar{x}-A)^2 + \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 \end{align}$ nachweisen, schlicht per Binomischer Formel angewandt auf die Summanden $\begin{align} (x_i-A)^2 = ((x_i-\bar{x})+(\bar{x}-A))^2 \end{align}$ .

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