Doppelsumme

20.10.2015, 20:36

luke965

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Doppelsumme

Meine Frage:
Gegeben ist die Doppelsumme
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{m} \sum\limits_{j=1}^{n} (i+j) \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe lautet: Berechnen sie folgende Doppelsumme.

Meine Ideen:
So gut wie keine außer die ersten ppar Summanten aufzuschreiben
(1+1)+(1+2)+(2+1)+(2+2) usw....

20.10.2015, 20:58

Magix

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Du kannst die Reihenfolge der Addition verändern.

Ist dir klar, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n\left(i+j\right) = \sum_{j=1}^n i + \sum_{j=1}^n j \end{eqnarray*}$ gilt?

20.10.2015, 20:58

HAL 9000

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Warum nicht ausrechnen, basierend auf dem kleinen Gauß $\begin{align*} \sum_{j=1}^n j = \frac{n(n+1)}{2} \end{align*}$ ? Mit dem folgt auch analog $\begin{align*} \sum_{i=1}^m i = \frac{m(m+1)}{2} \end{align*}$ , und nun noch überlegen (bzw. einfach sorgfältig einsetzen), was das für die Doppelsumme bedeutet.

20.10.2015, 21:15

luke965

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Das heißt ich kann dann $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{m} i + \sum\limits_{j=1}^{n} j \end{eqnarray*}$ schreiben.
Und dann $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{m} i \end{eqnarray*}$ als n(n+1)/2 bzw $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{n} j \end{eqnarray*}$ als m(m+1)/2 schreiben?

20.10.2015, 21:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von luke965
Das heißt ich kann dann $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{m} i + \sum\limits_{j=1}^{n} j \end{eqnarray*}$ schreiben.

Das heißt es NICHT !!!

20.10.2015, 21:25

luke965

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Sry für die Frage aber was heißt es dann?
Ich blicks grad net durch

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20.10.2015, 21:35

HAL 9000

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Knüpfe hier an:

Zitat:

Original von Magix
Ist dir klar, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n\left(i+j\right) = \sum_{j=1}^n i + \sum_{j=1}^n j \end{eqnarray*}$ gilt?

D.h., es ist

$\begin{align*} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n\left(i+j\right) = \sum_{i=1}^m \left( \sum_{j=1}^n i + \sum_{j=1}^n j \right) \end{align*}$ .

20.10.2015, 21:42

luke965

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Okay danke
Aber mir ist einfach noch nicht klar was man hierbei "ausrechnen" kann...

20.10.2015, 21:52

HAL 9000

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Am Ende steht ein Term ohne Summensymbole, nur von $\begin{align*} m \end{align*}$ und $\begin{align*} n \end{align*}$ abhängig.

20.10.2015, 22:00

luke965

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Faszinierend, aber mir nicht klar bzw komme ich nichtt darauf....

20.10.2015, 22:01

Magix

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Zitat:

Original von luke965
Das heißt ich kann dann $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{m} i + \sum\limits_{j=1}^{n} j \end{eqnarray*}$ schreiben.

Woher kommt die Summe links vom +?

20.10.2015, 22:08

luke965

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Ist mir mittlerweile klar dass das nicht korrekt ist...

20.10.2015, 22:14

Magix

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Gut. Wenn du also hiermit

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n\left(i+j\right) = \sum_{i=1}^m \left( \sum_{j=1}^n i + \sum_{j=1}^n j \right) \end{align*}$ .

weitermachst, hast du schon fast die Lösung.

Was ist denn $\begin{align*} \sum_{j=1}^n j = ? \end{align*}$
Bzw was gibt $\begin{align*} \sum_{j=1}^n i = ? \end{align*}$

20.10.2015, 22:21

luke965

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Okay
Also $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{n} j \end{eqnarray*}$ = n(n+1)/2
und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{n} j \end{eqnarray*}$ demnach auch n(n+1)/2?

Das heißt ich hätte dann n(n+1)/2 + n(n+1)/2 und das ergibt dann n^2+n ?

20.10.2015, 22:33

Magix

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Zitat:

Original von luke965
Okay
Also $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{n} j = {n(n+1) \over 2} \end{eqnarray*}$

Korrekt.

Zitat:

Original von luke965
und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{n} j \end{eqnarray*}$ demnach auch n(n+1)/2?

Hier hast du (mal wieder) nicht richtig hingeschaut. Die Summe, die du zweimal siehst, steht bei mir nur einmal da.

20.10.2015, 22:37

luke965

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Oh ich meinte natürlich \sum\limits_{j=1}^{n} i

20.10.2015, 22:40

luke965

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{n} i \end{eqnarray*}$

20.10.2015, 22:46

Magix

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$\begin{align*} \sum_{j=1}^n i = i + i + i + \ldots + i = ? \end{align*}$

Oder alternativ:
$\begin{align*} \sum_{j=1}^n i = i \sum_{j=1}^n 1 = ? \end{align*}$

20.10.2015, 22:52

luke965

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Jetzt komm ich nicht mehr mit haha,1=i oder wie?
Is ja auch schon spät

20.10.2015, 22:57

Magix

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Nein. Ich schlage dir vor dir morgen ein bisschen Zeit zu nehmen um über die zahlreichen Tipps nachzudenken.

20.10.2015, 23:02

luke965

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Brauche es zwar morgen aber ich bin der Sache schon ein bisschen näher denke ich!

Vielen dank auf jeden fall smile

smile

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