Integralrechnung mit Maßeinheiten

21.10.2015, 13:44	ysy	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung mit Maßeinheiten Meine Frage: Da ich mit dem Integrieren einer Funktion eine Fläche berechne, möchte ich damit auch ganz real Flächenmaße (Quadrat-Meter)berechnen können. Also als Textaufgabe: Angenommen ein Brückenbogen entspricht der Formel -x^2 + 5 Gesucht ist der Flächeninhalt in Quadrat-Meter über die Spannweite von 6m also Integral von -3 bis 3. Bei der Berechnung erhält man 12, aber das ist ja kein Flächenmaß. Ich möchte die gesamte Berechnung mit Maßeinheiten durchführen und am Ende auch wirklich eine Quadrat-Meter-Angabe erhalten. Ist das zuviel verlangt? Meine Ideen: Bislang habe ich versucht (-1/3 x^3 + 5x) von -3 bis 3 mit Maßeinheiten zu rechnen. also: (-1/3·(3m)^3 + 5·3m)-(-1/3·(-3m)^3 + - 5(-3m)) = -18 m^3 + 30 cm , was natürlich Quatsch ist aber wie denn dann???
21.10.2015, 13:54	mrdo87	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, zu den Einheiten: x soll vermutlich die Länge in Metern beschreiben und f(x) die Höhe der Brücke an der Stelle x in Metern. In der Mathematik schreibt man Einheiten ja oft nur im Ergebnis hin. Dein Denkfehler liegt hier: Die Funktionsgleichung ist auch ohne Einheiten angegeben. Wenn sowohl x als auch f(x) die Dimension einer Länge haben sollen, muss die Funktionsgleichung eigentlich lauten_ $\begin{eqnarray} f(x)=-\frac 1 {\text{m}} \cdot x^2 + 5\text{m} \end{eqnarray}$ Unabhängig von den Einheiten: Skizziere dir die Funktion mal bzw. berechne die Nullstellen. Ein Integral von -3 bis 3 bringt das Problem mit sich, dass die Funktion teilweise über und teilweise unter der x-Achse liegt. Aber das war ja nicht deine Kernfrage
21.10.2015, 14:29	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Da siehst du das Integral zu eng. Damit kann man viel mehr machen wie nur Flächenmaßzahlen zu berechnen. und die Funktion f(x) sollte vom Typ $\begin{eqnarray} \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ sein, denn sonst bekommt man Schwierigkeiten und das nicht nur bei der Definitionsmenge. Obiges Beispiel könnte auch ein Drehmoment um die x-Achse bedeuten etc.. Also: man rechnet bei Anwendungsaufgaben immer mit den Maßzahlen der physikalischen Größen. Um die Bedeutung und die Maßeinheit zur erzielten Zahl muss man sich selbst kümmern.
21.10.2015, 14:38	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Will man "sauber" mit physikalischen Einheiten arbeiten, so ist jeder Formelteil konsequent auf diesbezügliche Korrektheit abzuklopfen, wie es mrdo87 mit $\begin{eqnarray} f(x)=-\frac 1 {\text{m}} \cdot x^2 + 5\text{m} \end{eqnarray}$ getan hat. Das bedeutet dann insbesondere auch, dass Argumente beliebiger transzendenter Funktionen wie $\begin{align} \ln,\exp,\sin,\cos \end{align}$ usw. dimensionslos (d.h. ohne physikalische Einheit) zu sein haben! Da ist dann z.B. der zeitliche Verlauf einer Wechselspannung $\begin{align} U(t) = U_{\max}\cdot \sin(\omega t) \end{align}$ , wobei Kreisfrequenz $\begin{align} \omega=2\pi f \end{align}$ dieselbe Maßeinheit wie Frequenz $\begin{align} f \end{align}$ hat, in SI-Einheiten $\begin{align} 1~Hz = 1~s^{-1} \end{align}$ . Übrigens auch eine Kontrollmöglichkeit, um zumindest groben Mist bei der Aufstellung einer physikalischen Formel zu entdecken: Wenn die "falsche" Maßeinheit herauskommt, oder man versucht, zwei unterschiedliche Maßeinheiten zu addieren, etc.

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