Einsteinsche Summenkonvention mit 2 doppelt auftretenden Indizes

21.10.2015, 20:54	kenogo99	Auf diesen Beitrag antworten »
Einsteinsche Summenkonvention mit 2 doppelt auftretenden Indizes Meine Frage: Hallo Leute, im ersten Semester des Physikstudiums bin ich auf die Einsteinsche Summenkonvention gestoßen und im Grundsatz verstehe ich sie, also, dass: $\begin{eqnarray} a_{ij}b_{jl}=\sum\limits_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kl} \end{eqnarray}$ Aber jetzt haben wir für das Verhalten einer Matrix bei Drehung des Koordinatensystems folgendes aufgeschrieben: $\begin{eqnarray} a'_{ij}=d_{ik}d_{jl}a_{kl} \end{eqnarray}$ Wie kann das als Summe geschrieben werden? Hier treten ja k und l doppelt auf. Meine Ideen: Meine Vermutung wäre, dass, wenn wir k und l bis 3 laufen lassen, folgendes rauskommt: $\begin{eqnarray} d_{ik}d_{jl}a_{kl}=d_{i1}d_{j1}a_{11}+d_{i2}d_{j2}a_{22}+d_{i3}d_{j3}a_{33} \end{eqnarray}$ Ich bin mir aber sehr unsicher und wäre deswegen für jede Antwort dankbar.
21.10.2015, 21:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast insoweit Recht, dass $\begin{align} k \end{align}$ und $\begin{align} l \end{align}$ von $\begin{align} 1 \end{align}$ bis $\begin{align} n \end{align}$ laufen, bei dir ist allem Anschein nach $\begin{align} n=3 \end{align}$ . Dann hat das ganze aber nicht 3, sondern $\begin{align} 3^2=9 \end{align}$ Summanden.
22.10.2015, 10:54	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@kenogo99 Ich glaube, dass du die Indexschreibweise noch nicht ganz verstanden hast. Zur Erklärung schreibe ich mal kurz auf, was deine Indexgleichungen in Matrixschreibweise bedeuten: ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Das Produkt $\begin{eqnarray} a_{ij}b_{jl} \end{eqnarray}$ bezeichnet nichts anderes als das simple Matrixprodukt AB zweier Matrizen $\begin{eqnarray} A=a_{ij} \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} B=b_{ij} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} AB=a_{ij}b_{jl} \end{eqnarray}$ Ein beliebiges einzelnes Matrixelement $\begin{eqnarray} (AB)_{il} \end{eqnarray}$ der Produktmatrix AB ergibt sich also durch Summierung über den Index j wie folgt $\begin{eqnarray} (AB)_{il}=a_{i1}b_{1l}+a_{i2}b_{2l}+a_{i3}b_{3l}+... \end{eqnarray}$ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Die Formel $\begin{eqnarray} a'_{ij}=d_{ik}d_{jl}a_{kl} \end{eqnarray}$ kann man wie folgt herleiten: Betrachte irgendeine Abbildung eines Vektors $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ auf einen Vektor $\begin{eqnarray} \vec y \end{eqnarray}$ vermöge einer Abbildungsmatrix A, also $\begin{eqnarray} \vec y=A\vec x \end{eqnarray}$ Bei Drehung des Koordinatensystems mit einer Drehmatrix D lautet der Zusammenhang zwischen den gedrehten und ungedrehten Vektoren wie folgt $\begin{eqnarray} \vec y=D^{-1}\vec y' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec x=D^{-1}\vec x' \end{eqnarray}$ Einsetzen in die obige Abbildungsgleichung liefert $\begin{eqnarray} D^{-1}\vec y'=AD^{-1}\vec x' \end{eqnarray}$ Auf diese Gleichung wenden wir die Drehmatrix $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ an $\begin{eqnarray} \vec y'=\underbrace{DAD^{-1}}_{A'}\vec x' \end{eqnarray}$ Die Matrix $\begin{eqnarray} A'=DAD^{-1} \end{eqnarray}$ ist also die neue Abbildungsmatrix im gedrehten Koordinatensystem. Bei Drehmatrizen gilt speziell $\begin{eqnarray} D^{-1}=D^T \end{eqnarray}$ . Damit bekommt die Abbildungsmatrix im gedrehten Koordinatensystem die Form $\begin{eqnarray} A'=DAD^{T} \end{eqnarray}$ Dies ist die Matrixschreibweise deiner oben genannte Indexgleichung $\begin{eqnarray} a'_{ij}=d_{ik}a_{kl}d_{jl} \end{eqnarray}$ . Wesentlich ist, dass die Indizes im letzten Faktor $\begin{eqnarray} D^T=d_{jl} \end{eqnarray}$ vertauscht sind. Zu summieren ist über die beiden Indizes k,l (jeweils von 1 bis n), was n² Summanden ergibt, wie HAL9000 richtig bemerkte.

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