Beweis: Konvergenz des Newton-Verfahrens

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Beweis: Konvergenz des Newton-Verfahrens
Meine Frage:
Hallo!

Ich beschäftige mich zurzeit mit dem Beweis, dass das Newton-Verfahren konvergiert. In der Vorlesung hatten wir den nachfolgenden Beweis. Ich verstehe jedoch zwei Schritte nicht:
1) Warum zeige ich ?
Dabei ist Dg(x) die Jacobimatrix von g. Ist dies der Beweis, dass g eine Kontraktion ist?
2) Woher kommt die Abschätzung ?
Ich sehe einfach nicht, woher ich die bekomme...

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen :-)

Meine Ideen:
Vor.: Die Funktion f habe die Nullstelle und sei in einer Umgebung von stetig. Die Jacobimatrix sei invertierbar.

Beweis:
Interpretiere Newtonverfahren als Fixpunktiteration mit .
Zeige nun: .
Berechne dazu die Einträge der Jacobimatrix . Sei dazu .
Man erhält unter Ausnutzung von :


Nach Voraussetzung ist stetig.
Damit folgt: Es existiert eine Umgebung V von in der gilt: .
Somit ist g kontrahierend und das Newtonverfahren konvergiert.
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