Beweis: Konvergenz des Newton-Verfahrens |
22.10.2015, 19:11 | Jolly | Auf diesen Beitrag antworten » |
Beweis: Konvergenz des Newton-Verfahrens Hallo! Ich beschäftige mich zurzeit mit dem Beweis, dass das Newton-Verfahren konvergiert. In der Vorlesung hatten wir den nachfolgenden Beweis. Ich verstehe jedoch zwei Schritte nicht: 1) Warum zeige ich ? Dabei ist Dg(x) die Jacobimatrix von g. Ist dies der Beweis, dass g eine Kontraktion ist? 2) Woher kommt die Abschätzung ? Ich sehe einfach nicht, woher ich die bekomme... Ich hoffe, ihr könnt mir helfen :-) Meine Ideen: Vor.: Die Funktion f habe die Nullstelle und sei in einer Umgebung von stetig. Die Jacobimatrix sei invertierbar. Beweis: Interpretiere Newtonverfahren als Fixpunktiteration mit . Zeige nun: . Berechne dazu die Einträge der Jacobimatrix . Sei dazu . Man erhält unter Ausnutzung von : Nach Voraussetzung ist stetig. Damit folgt: Es existiert eine Umgebung V von in der gilt: . Somit ist g kontrahierend und das Newtonverfahren konvergiert. |
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