Stetigkeit der Umkehrfunktion beweisen

22.10.2015, 20:05

zitronenfalter

Stetigkeit der Umkehrfunktion beweisen

Hallo zusammen
Ich habe eine Frage zu einem Beweis von mir. Ich weiss nämlich nicht, ob er richtig ist so, denn er erscheint mir viel zu kurz...
Die Aufgabe ist die folgende: Sei f: R-> R stetig und bijektiv. Zeige, dass die Umkehrfunktion stetig ist.
Mein Beweis:
Seien $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ vorgegeben. Wähle $\begin{eqnarray*} \delta = \epsilon \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} \forall q \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \vert p - q \vert \leq \delta = \epsilon : \vert f(p) - f(q) \vert \leq c, c \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
Nun ist aber $\begin{eqnarray*} p = f^{-1}(f(p)), q = f^{-1}(f(q)) \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} a := f(p), b:= f(q) \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt $\begin{eqnarray*} \forall b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \vert a - b \vert = \vert f(p) - f(q) \vert \leq c : \vert f^{-1}(a) - f^{-1}(b) \vert = \vert p - q \vert \leq \delta = \epsilon \end{eqnarray*}$ .
Somit ist die Umkehrfunktion stetig in jedem Punkt $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ stetig.

22.10.2015, 22:38

steviehawk

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RE: Stetigkeit der Umkehrfunktion beweisen
Ohne dass ich den Beweis jetzt gelesen habe, kann ich dir sagen, dass das im Allgemeinen nicht gilt. Ich kann dir morgen gern ein Gegenbeispiel nennen.

Gruß

22.10.2015, 23:11

10001000Nick1

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Doch, für stetige bijektive Funktionen $\begin{eqnarray*} f:I\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit einem Intervall $\begin{eqnarray*} I\subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist auch die Umkehrfunktion stetig (und nur um solche Funktionen geht es hier).

Aber schon, wenn der Definitionsbereich kein Intervall mehr ist, muss das nicht mehr unbedingt stimmen.

22.10.2015, 23:18

Luscinia

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Die schnellste Argumentation geht vielleicht etwa so:

Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bijektiv und stetig ist, ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ streng monoton. Dann ist auch $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ streng monoton. Monotone Surjektionen sind stetig.

24.10.2015, 10:46

zitronenfalter

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Danke für eure Antworten!

Zitat:

Original von Luscinia
Die schnellste Argumentation geht vielleicht etwa so:

Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bijektiv und stetig ist, ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ streng monoton. Dann ist auch $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ streng monoton. Monotone Surjektionen sind stetig.

Bei dieser Argumentation hat sich der Beweis ja eigentlich von "zeige, dass die Umkehrfunktion stetig ist" zu "zeige, dass monotone, surjektive Funktionen stetig sind" bewegt. Heisst das denn jetzt, dass mein Beweis falsch ist und man das nur so zeigen kann?

25.10.2015, 14:27

zitronenfalter

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Mit dem Hinweis von Luscinia habe ich jetzt noch einmal eine neuen Beweis gemacht.

Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine stetige, bijektive, stetige Funktion und sei $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ die Umkehrfunktion.
Die Umkehrfunktion ist injektiv, denn es gilt:
$\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) \leftrightarrow x= y \end{eqnarray*}$ Setze $\begin{eqnarray*} a:= f(x), b := f(y) \leftrightarrow f^{-1}(a) = x, f^{-1}(b) = y \end{eqnarray*}$
also ist das obend umgeformt:
$\begin{eqnarray*} a = b \leftrightarrow f^{-1}(a) = f^{-1}(b) \end{eqnarray*}$
Also ist die Umkehrfunktion injektiv.
Sie ist auch surjektiv, denn:
Für jedes $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f^{-1}(y) = x \end{eqnarray*}$ , nämlich $\begin{eqnarray*} y = f(x) \end{eqnarray*}$ .
Die Umkehrfunktion ist also bijektiv.

Sei nun $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
Widerspruchsannahme: f ist nicht stetig. Dann existiert zu einem Punkt p eine Funktion mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_n = p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } f(a_n) \neq f(p) \end{eqnarray*}$ .
Betrachte zuerst den Fall $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } f(a_n) > f(p) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \to \infty } a_n > p \end{eqnarray*}$ (wenn f monoton wachsend ist) oder $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \to \infty } a_n < p \end{eqnarray*}$ (wenn f monoton sinkend ist). In beiden Fällen ist dies ein Widerspruch.
Betrachte nun den Fall $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } f(a_n) < f(p) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \to \infty } a_n < p \end{eqnarray*}$ (wenn f monoton wachsend ist) oder $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \to \infty } a_n > p \end{eqnarray*}$ (wenn f monoton sinkend ist). Wieder ist dies in beiden Fällen ist ein Widerspruch.
Also existiert keine solche Folge, also ist f^-1 stetig in allen Punkten.

Ist dieser Beweis so richtig und besser als der erste?

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