Vollständige Induktion mit Summenzeichen

23.10.2015, 12:20

johnny94

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Vollständige Induktion mit Summenzeichen

Meine Frage:
Ich soll mittels vollständiger Induktion für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ beweisen dass, $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n}^{2\cdot n} k = 3\cdot \sum\limits_{k=1}^{n} k \end{eqnarray*}$ gilt.

Meine Ideen:
Induktionsanfang für A(1) 3=3

Induktionsschluss
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+1}^{2\cdot (n+1)} k = 3\cdot \sum\limits_{k=1}^{n+1} k \end{eqnarray*}$
Ab hier blicke ich nicht mehr durch wie ich weitermachen soll. Die VI macht mir noch gewaltige Probleme, falls mir jemand helfen kann wäre ich sehr dankbar.

23.10.2015, 12:24

UnicornSparkels

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Halloooooooo,

nimm

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^{2(n+1)} k \end{eqnarray*}$

nun forme dies solange um bis du auf

$\begin{eqnarray*} 3\sum_{k=1}^{n+1} k \end{eqnarray*}$

kommst. Dabei musst du natürlich deine Induktionsvoraussetzung irgendwo benutzen.

23.10.2015, 12:27

johnny94

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Danke, ich werde versuchen ob ich das schaffe und melde mich später nochmal.

23.10.2015, 13:03

UnicornSparkels

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smile

Ich hätte dir gerne mehr geholfen, aber deine bisherigen Versuche lassen mir da leider keine Wahl, als es dich nochmal selber probieren zu lassen.

Ich hoffe das versteuschtist du.

23.10.2015, 13:21

johnny94

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Ja verstehe ich schon, Ziel ist es ja dass ich dabei was lerne und nicht die Lösung Schritt für Schritt abschreibe. smile

smile

Habe nochmal herumprobiert, komme aber noch immer nicht auf einen grünen Zweig.

Das Summenzeichen rechts vom Istgleich kann ich ja auch so schreiben.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1}3\cdot k = 3+6+9+...+3\cdot (n+1) \end{eqnarray*}$

Habe aber nicht wirklich einen Plan wie ich das links umformen soll. verwirrt

verwirrt

So kann ich es wahrscheinlich nicht umschreiben?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+1}^{2\cdot (n+1)}k = (n+1)+2\cdot (n+1) \end{eqnarray*}$

23.10.2015, 13:37

johnny94

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Bei dem linken $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+1}^{2\cdot (n+1)} k = (n+1)+...+2\cdot (n+1) \end{eqnarray*}$ müsste ich es glaube ich auch so schreiben.

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23.10.2015, 13:40

johnny94

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Also könnte ich das dann ja auch zu $\begin{eqnarray*} 3\cdot (n+1) \end{eqnarray*}$ zusammenfassen, aber dann?

23.10.2015, 13:41

klarsoweit

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Letzteres ist korrekt. Vergleiche am besten die Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+1}^{2\cdot (n+1)} k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n}^{2\cdot n} k \end{eqnarray*}$ .
Welche Summanden hat $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+1}^{2\cdot (n+1)} k \end{eqnarray*}$ zu viel oder zu wenig im Vergleich zu $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n}^{2\cdot n} k \end{eqnarray*}$ ?

EDIT: Zur Klärung: Das Wort "Letzteres" bezog sich auf $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+1}^{2\cdot (n+1)} k = (n+1)+...+2\cdot (n+1) \end{eqnarray*}$ .

Da kam noch ein Beitrag dazwischen, den ich nicht gesehen hatte.

23.10.2015, 13:53

johnny94

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Der Unterschied ist nur die +3, oder irre ich mich? verwirrt

verwirrt

23.10.2015, 13:56

UnicornSparkels

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Welche +3? LOL Hammer

LOL Hammer

23.10.2015, 14:01

johnny94

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Naja ich habe die Zwei verglichen und beim oberen fehlt +3, wird nicht so funktionieren nehme ich mal an. Hammer

Hammer

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n}^{2\cdot n} k =n+...+2\cdot n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n+1}^{2\cdot (n+1)} k = (n+1)+...+2\cdot (n+1) \end{eqnarray*}$

23.10.2015, 14:10

UnicornSparkels

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Ich glaube du hast solche Probleme mit der Induktion, weil du nicht strukturiert vorgehst und nicht weißt was du machen sollst. Herz

Herz

Wir haben die Summe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^{2(n+1)} k \end{eqnarray*}$

Das wollen wir nun unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung umformen.

Der erste Schritt kann nun sein, dass du die Summe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^{2(n+1)} k \end{eqnarray*}$ so in den Grenzen anpasst, dass du die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst.
Was ist denn da zu tun?

Ich glaube an dich. Du bist so tapfer!!!!!!! smile

smile

smile

smile

23.10.2015, 14:11

johnny94

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Habe den Edit erst jetzt gesehen, also zusammenfassen darf ich so nicht und andere Summanden kann man nicht mehr dazuschreiben?

23.10.2015, 14:17

johnny94

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Da kann ich dir nur recht geben, wenigstens glaubt noch jemand an mich, ich habe den glauben an mich selbst schon aufgegeben. Big Laugh

Big Laugh

Lass mich noch ein wenig darüber nachdenken.

23.10.2015, 14:31

johnny94

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Ist da Indexverschiebung ein Stichwort oder bin ich da komplett auf dem Holzweg?

23.10.2015, 14:35

UnicornSparkels

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Nein, eine Indexverschiebung brauchst du hier nicht.
Es ist eigentlich viel einfacher.

Vergleiche doch mal die Grenzen. Was sind denn die Unterschiede?

23.10.2015, 14:41

klarsoweit

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Vielleicht ist es ganz gut, wenn ich nochmal kurz die Idee der Vorgehensweise zusammenfasse. Dann halte ich mich auch wieder raus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also wir nehmen die Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+1}^{2\cdot (n+1)} k \end{eqnarray*}$ und basteln daran solange herum, bis wir die Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n}^{2\cdot n} k \end{eqnarray*}$ erhalten, um dann die Induktionsvoraussetzung anwenden zu können. Das Rumbasteln geschieht so, daß fehlende Summanden ergänzt und überflüssige Summanden rausgezogen werden. Ziel ist es, daß man eine Gleichung dieser Form erhält:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+1}^{2\cdot (n+1)} k \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n}^{2\cdot n} k - hugo + anton + otto \end{eqnarray*}$
Jetzt geht es darum, die passenden Terme für hugo, anton und otto zu finden. smile

smile

23.10.2015, 14:43

UnicornSparkels

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Habe ich das bisher so schlecht herausgearbeitet? traurig

traurig

traurig

Tränen

Tränen

Ups

23.10.2015, 14:52

klarsoweit

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Im Prinzip nicht. Du machst das wirklich gut. Aber ich bin mir nicht sicher, ob johnny94 noch im Blick hat, wie der rote Faden in dem Beweis ausieht. (Wenn man irgendwo abtaucht, muß man hin und wieder mal nach oben, um etwas Luft zu schnappen.)

23.10.2015, 14:55

UnicornSparkels

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Ja, tut mir leid.
Ich bin heute emotional leicht reizbar. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Forum Kloppe

Entschuldigung. traurig

traurig

23.10.2015, 14:56

johnny94

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Du kannst nichts dafür, es liegt einzig und allein an mir dass ich deine zahlreichen Tipps nicht verstanden habe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also jetzt nochmal ich vergleiche

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n}^{2\cdot n} k= n+...+2\cdot n \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n+1}^{2\cdot n+1} k= (n+1)...+2\cdot (n+1) \end{eqnarray*}$

dann ziehe ich ab und zähle dazu, aber dann bin ich wieder bei meinem 3er?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n}^{2\cdot n} k-n-2n+(n+1)+2(n+1) = \sum\limits_{k=n}^{2\cdot n} k+3 \end{eqnarray*}$

23.10.2015, 14:59

UnicornSparkels

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Warum subtrahierst du die 2n?

Ansonsten sieht das jetzt guuuuuut aus!!!!!!!!!!! Freude

Freude

Freude

Freude

23.10.2015, 15:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von UnicornSparkels
Entschuldigung. traurig

traurig

Nein, nein, du brauchst dich nicht entschuldigen. Deine Frage war ja durchaus berechtigt. Wahrscheinlich hätte ich ähnlich reagiert. Prost

Prost

Und wie gesagt: ich halte mich jetzt raus. Ich muß sowieso gleich fort.

23.10.2015, 15:01

UnicornSparkels

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Uh, du bist voll nett und verständnisvoll. *u*

23.10.2015, 15:05

johnny94

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Also 2n nicht subtrahieren, das n aber trotzdem, diesen Schritt verstehe ich nicht. Hätte ich vorher schon ausschreiben sollen, bei dem 3er war ich ja schon vorher. verwirrt

verwirrt

23.10.2015, 15:08

UnicornSparkels

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Warum subtrahierst du denn das n?

Vielleicht kannst du dir dann die Frage, weshalb du 2n nicht subtrahieren musst, selber beantworten.

23.10.2015, 15:17

johnny94

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Aber das n ist doch genauso in (n+1) enthalten wie das 2n in 2(n+1). Ich weiß du hast recht, aber ich weiß leider nicht warum.

23.10.2015, 15:27

johnny94

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Weiters kann ich glaube ich schreiben dass

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n}^{2n} k+2n+3 = \sum\limits_{k=1}^{n} 3k+2n+3 \end{eqnarray*}$ ist.

23.10.2015, 15:28

UnicornSparkels

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Also, wir wollen

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^{2(n+1)} k \end{eqnarray*}$ erstmal nur in den Grenzen anpassen, damit wir die Induktionsvoraussetzung anwenden können.
Dazu müssen wir die Summe auf die Form

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n}^{2n} k \end{eqnarray*}$ bringen.

Was nun auffallen sollte ist, dass wir zum einen zwei Summanden extra haben. Nämlich 2n+1 und 2n+2.

Das nächste ist, dass wir einen Summand zu wenig haben.
Denn unsere Summe startet für k=n+1, aber wir wollen, dass sie für k=n startet.

Die extra Summanden anzupassen ist einfach. Die schreiben wir einfach hinten dran:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^{2(n+1)} k=\sum_{k=n+1}^{2n} k+(2n+1)+(2n+2) \end{eqnarray*}$

Nun müssen wir noch den Startindex anpassen. Dazu müssen wir einen Summanden also dazutun.
Um die Gleichheit zu wahren, müssen wir diesen aber auch direkt wieder entfernen.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n}^{2n} k+(2n+1)+(2n+2)-n \end{eqnarray*}$

Leider verstehe ich dein Verständnisproblem gerade nicht so ganz, aber ich glaube jetzt sollte es klar sein, wo dein Fehler liegt?
smile

smile

smile

23.10.2015, 15:31

UnicornSparkels

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Zitat:

Original von johnny94
Weiters kann ich glaube ich schreiben dass

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n}^{2n} k+2n+3 = \sum\limits_{k=1}^{n} 3k+2n+3 \end{eqnarray*}$ ist.

Ja, hier hast du die Induktionsvoraussetzung richtig angewendet. Das ist supi. Freude

Freude

23.10.2015, 15:37

johnny94

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Danke für deine Geduld und deine Zeit. Ich hoffe dir nicht zu sehr auf die Nerven gegangen zu sein. Ich werde mir dieses Beispiel nochmal ganz genau ansehen, damit ich endlich ein wenig Struktur in mein Chaos bekomme. Ich hoffe auch danach ähnliche Beispiele ohne oder mit weniger Beispielen zu bewältigen.

23.10.2015, 15:39

UnicornSparkels

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Hast du es denn nun verstanden, wo die Summanden herkommen, und warum wir 2n nicht subtrahieren müssen?

Den Induktionsschritt müsstest du noch beenden.

Wichtig ist alles strukturiert zu notieren. Dann ist es eigentlich ganz einfach. *u*

23.10.2015, 16:51

johnny94

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Sry, habe vorher weg müssen und gehofft den Induktionsschritt selbst beenden zu können. Das mit den Summanden habe ich jetzt verstanden und sollte, so hoffe ich in Zukunft kein Problem mehr sein.

Jetzt habe ich $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n}^{2n} k+3n+3 = \sum\limits_{k=1}^{n} 3k+3n+3 \end{eqnarray*}$ stehen. Beim rechten Ausdruck bin ich mir nicht sicher ob ich den 3er nur aufs k beziehen muss oder ob das so stimmt mit der Klammer. Wie ich das für den Beweis umforme habe ich noch immer nicht überrissen. verwirrt

verwirrt

23.10.2015, 16:53

UnicornSparkels

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Ich würde die 3 nicht in die Summe reinziehen.

$\begin{eqnarray*} 3\sum_{k=1}^n k+3n+3=3\sum_{k=1}^n k+3(n+1) \end{eqnarray*}$

Siehst du es nun?

23.10.2015, 17:00

johnny94

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Ja glaube schon das 3*(n+1) weißt darauf hin dass es der Nachfolger ist, aber reicht das, ist man damit fertig?

23.10.2015, 17:03

UnicornSparkels

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Also meiner Meinung nach schon.

Du kannst es ja vielleicht ausführlich so notieren:

$\begin{eqnarray*} 3\sum_{k=1}^n k+3(n+1)=3\left(\sum_{k=1}^n k+(n+1)\right)=3\sum_{k=1}^{n+1} k \end{eqnarray*}$

23.10.2015, 17:09

johnny94

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Danke ich weiß gar nicht wie ich dir danken soll. Tanzen

Tanzen

Gott

Ich wünsche dir/ euch allen ein schönes Wochenende. Wink

Wink

23.10.2015, 17:10

UnicornSparkels

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Mit Zunge

Herz

Herz

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