Gleichungssystem lösen

23.10.2015, 16:27

Rivago

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Gleichungssystem lösen

Wink

Ich bin hier am verzweifeln.. stelle schon seit Stunden die selben Gleichungen um und komme nie auf das richtige Ergebnis böse

böse

Bevor ich jetzt noch weiter mach, wollte ich mal fragen, ob es mit diesen Gleichungen überhaupt geht?

Lösungen sind:

$\begin{eqnarray*} F_s = 8,7 \ N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_A = 4,66 \ m/s^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_B = 9,32 \ m/s^2 \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} 2a_A = a_B \end{eqnarray*}$ und man kann $\begin{eqnarray*} a_A \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} a_{Ax} = a_A \cdot cos(30) \end{eqnarray*}$ und in $\begin{eqnarray*} a_{Ay} = a_A \cdot sin(30) \end{eqnarray*}$ aufteilen.

Weiterhin hab ich

$\begin{eqnarray*} m_A \cdot g \cdot sin(30) + 2F_S - F_H = m_A \cdot a_{Ax} \end{eqnarray*}$

bzw

$\begin{eqnarray*} m_A \cdot g \cdot sin(30) + 2F_S - \mu \cdot m_A \cdot g \cdot cos(30) = m_A \cdot a_{Ax} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_N - m_A \cdot g \cdot cos(30) = m_A \cdot a_{Ay} \end{eqnarray*}$

bzw

$\begin{eqnarray*} \frac{F_H}{\mu} - m_A \cdot g \cdot cos(30) = m_A \cdot a_{Ay} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_B \cdot g - F_S = m_B \cdot a_B \end{eqnarray*}$

Gesucht ist $\begin{eqnarray*} a_A, a_B, F_S \end{eqnarray*}$ , alles andere ist gegeben.

23.10.2015, 16:34

DrummerS

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RE: Gleichungssystem lösen

Zitat:

Original von Rivago
$\begin{eqnarray*} F_N - m_A \cdot g \cdot cos(30) = m_A \cdot a_{Ay} \end{eqnarray*}$

Welche Größe in dieser Gleichung kannst du ausrechnen?

23.10.2015, 16:35

Rivago

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Keine, weil ich Fn nicht kenn verwirrt

verwirrt

23.10.2015, 16:43

DrummerS

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RE: Gleichungssystem lösen

Zitat:

Original von Rivago
Gesucht ist $\begin{eqnarray*} a_A, a_B, F_S \end{eqnarray*}$ , alles andere ist gegeben.

Achso, das ging hieraus (siehe Zitat) nicht hervor. Eine Skizze wäre hilfreich.

23.10.2015, 16:50

Rivago

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Sorry, das hätte ich mit erwähnen sollen.

Okay, hier die Skizze. Es ist eine Aufgabe aus Techn. Mechanik 3, also hier wahrscheinlich wieder unerwünscht.

Gesucht sind die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen von A und B nach $\begin{eqnarray*} t = \frac{1}{3} \ s \end{eqnarray*}$ , sowie die Seilkraft.

Das was ich da geschrieben hab sind die Beziehungen, die aus der Skizze hervorgehen. Zumindest bin ich der Meinung, dass es so richtig sein muss. Aber vllt ist ja doch irgendwo ein Fehler.

23.10.2015, 17:24

DrummerS

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Ich vermute, dass für die Aufgabenlösung die Aufstellung einer Differentialgleichung unerlässlich ist.
Die Massen von A und B müssten jedoch auch bekannt sein.
Versuche doch mal, eine Gleichung mit Kräften aufzustellen, die $\begin{eqnarray*} m_{A}\ddot{x} \end{eqnarray*}$ enthält, wobei $\begin{eqnarray*} \ddot{x} \end{eqnarray*}$ die Beschleunigung von A darstellt.

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23.10.2015, 17:27

Rivago

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Nein, eine Differentialgleichung braucht man dazu nicht. Man löst es über das Dynamische Grundgesetz, wie du schon gesagt hast..
Und so hab ich die Gleichungen ja auch aufgestellt.

23.10.2015, 17:51

DrummerS

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Ok, ich verstehe was du meinst. Was hälst du von folgendem Ansatz?

$\begin{eqnarray*} m_{a}a_{a} = \left( F_{A\text{, Hangabtrieb}}-F_{A\text{, Haftkraft}}\right) + F_{\text{durch B verursacht}} \end{eqnarray*}$

Damit reduziert sich die Zahl der unbekannten Variablen und du kannst nach $\begin{eqnarray*} a_{a} \end{eqnarray*}$ umformen.

23.10.2015, 18:53

Rivago

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Diesen Ansatz versteh ich leider nicht..

Es muss auch über meinen Ansatz gehen. Aber entweder ich bin zu blöd zum umstellen (deswegen hier der Thread, um das mal auszuschließen) oder aber eine oder mehrere dieser Gleichungen ist falsch.

23.10.2015, 19:11

DrummerS

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RE: Gleichungssystem lösen

Zitat:

Original von Rivago
$\begin{eqnarray*} F_N - m_A \cdot g \cdot cos(30) = m_A \cdot a_{Ay} \end{eqnarray*}$

In dieser Gleichung wäre schonmal ein Fehler, wenn ich diese richtig verstehe.
Eigentlich ist $\begin{eqnarray*} F_N = m_A \cdot g \cdot cos(30) \end{eqnarray*}$ womit $\begin{eqnarray*} F_N - m_A \cdot g \cdot cos(30) = 0 \end{eqnarray*}$

Des Weiteren verstehe ich diesen Teil nicht:

Zitat:

Original von Rivago
Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} 2a_A = a_B \end{eqnarray*}$ und man kann $\begin{eqnarray*} a_A \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} a_{Ax} = a_A \cdot cos(30) \end{eqnarray*}$ und in $\begin{eqnarray*} a_{Ay} = a_A \cdot sin(30) \end{eqnarray*}$ aufteilen.

$\begin{eqnarray*} a_{A} \end{eqnarray*}$ müsste aufgrund der benutzten Winkelfunktion eine Hypothenuse sein.
Die Beziehung $\begin{eqnarray*} 2a_A = a_B \end{eqnarray*}$ ist richtungsunabhängig. Wie konstruierst du $\begin{eqnarray*} a_{A} \end{eqnarray*}$ als Hypothenuse?

23.10.2015, 19:21

Rivago

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Hmm, da hast du Recht verwirrt

verwirrt

Dann steht da aber $\begin{eqnarray*} 0 = m_A \cdot a_{Ay} \end{eqnarray*}$ und das kann nicht sein. Denn das würde bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} a_{Ay} = 0 \end{eqnarray*}$

Oder kann das doch sein?

Dann bringt mir diese Gleichung aber gar nichts..

23.10.2015, 19:31

DrummerS

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Zitat:

Original von Rivago
$\begin{eqnarray*} a_{Ay} = 0 \end{eqnarray*}$

Stimmt, das macht doch Sinn. Die Gleichung ist somit nicht falsch.
Was sagst du zu dem editierten Teil meines vorherigen Posts?

23.10.2015, 19:36

Rivago

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Das ist ne gute Frage was ich mir dabei gedacht hab verwirrt

verwirrt

Ich weiß es nicht. Aber letztendlich ist das ja dann jetzt auch egal, da die Beschleunigung eh nur in x-Richtung ist. Warum versteh ich aber nicht so richtig.

23.10.2015, 19:39

Dopap

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mal grundsätzlich:

1.) Es gibt keinen Grund in 2 Dimensionen zu rechnen.

2.) bremsende Kraft ist die Reibungskraft von m1

und wenn ich mich recht erinnere erfolgt jetzt das Freischneiden der Seilkräfte.

habt ihr das schon behandelt ?

23.10.2015, 19:45

Rivago

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Was meinst du mit 2 Dimensionen? Weil ich Körper A in x und y betrachtet habe?

Klar, Freischneiden ist Statik TM1 Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber das hab ich doch gemacht und in die Gleichungen mit einbezogen? verwirrt

verwirrt

23.10.2015, 20:03

DrummerS

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Zitat:

Original von Rivago
Aber letztendlich ist das ja dann jetzt auch egal, da die Beschleunigung eh nur in x-Richtung ist. Warum versteh ich aber nicht so richtig.

Du hast dein Koordinatensystem mit den senkrecht zueinander stehenden Achsen (x,y) so gewählt, dass eine Achse parallel zur Richtung der Normalkraft und die andere parallel zur Richtung der Hangabtriebskraft liegt. Die Richtung der Hangabtriebskraft ist gleichzeitig die hier einzig mögliche Bewegungrichtung (A schleift über die "schiefe Ebene"), weshalb die senkrecht-stehende Bewegungskomponente (y-Richtung) wegfallen muss.

23.10.2015, 20:06

Dopap

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Zitat:

Original von Rivago
Was meinst du mit 2 Dimensionen? Weil ich Körper A in x und y betrachtet habe?

ja

Zitat:

Klar, Freischneiden ist Statik TM1 Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber das hab ich doch gemacht und in die Gleichungen mit einbezogen? verwirrt

verwirrt

gut.

$\begin{eqnarray*} F_s \end{eqnarray*}$ ist also die Seilkraft im Seil zu m2.

Ich würde jetzt im Lichte dessen die Gleichungen ohne unnötigen Firlefanz neu aufstellen.

Und dann sollte gelten : Anzahl der Variablen = Anzahl der unabhängigen Gleichungen d.h. alle bekannten Zahlenwerte sind keine Variablen.

23.10.2015, 20:33

Rivago

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RE: Gleichungssystem lösen
$\begin{eqnarray*} 2a_A = a_B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_A \cdot g \cdot sin(30) + 2F_S - \mu \cdot m_A \cdot g \cdot cos(30) = m_A \cdot a_A \end{eqnarray*}$

Und zusammengefasst $\begin{eqnarray*} m_A \cdot g \cdot (sin(30) - \mu \cdot cos(30)) = m_A \cdot a_A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_B \cdot g - F_S = m_B \cdot a_B \end{eqnarray*}$

Damit sollte es doch möglich sein? Das ist ja nichts anderes, als das was da die ganze Zeit schon steht. Wieso also kommt da bei mir nur Mist raus? verwirrt

verwirrt

23.10.2015, 21:15

DrummerS

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RE: Gleichungssystem lösen

Zitat:

Original von Rivago
$\begin{eqnarray*} m_A \cdot g \cdot sin(30) + 2F_S - \mu \cdot m_A \cdot g \cdot cos(30) = m_A \cdot a_A \end{eqnarray*}$

Sorry, das war Müll, was eben hier stand (habe es gelöscht). Ziehe mich aus zeitlichen Gründen nun hier zurück.
Wünsche dir viel Erfolg beim Lösen der Aufgabe!

24.10.2015, 08:42

Dopap

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RE: Gleichungssystem lösen
Ich hatte mal 3 Gewichte an einem Drehbalken, und 2 davon liefen über eine Drehrolle links am Balken und eines hing rechts am Balken. Das ergab ca. 16 Gleichungen ! Gefragt war die Anfangswinkelbeschleunigung des Balkens (!)
Du brauchst keine Formel zu entwickeln sondern nur Werte zu berechnen. Gleichungen immer nummerieren.

2.) $\begin{eqnarray*} m_A \cdot g \cdot sin(30) + 2F_S - \mu \cdot m_A \cdot g \cdot cos(30) = m_A \cdot a_A \end{eqnarray*}$

zu langatmig und dann noch $\begin{eqnarray*} F_s \end{eqnarray*}$ vergessen:

2.) $\begin{eqnarray*} m_A \cdot g \cdot (sin(30) - \mu \cdot cos(30)) = m_A \cdot a_A \end{eqnarray*}$

Ich stelle mir das so vor:

--------------------------------------------------------------------------------
1.) $\begin{eqnarray*} 2 a_A - a_B=0 \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} m_A (3.204 - a_A) + 2F_S = 0 \end{eqnarray*}$

3.) $\begin{eqnarray*} m_B (9.807 -a_B) - F_S = 0 \end{eqnarray*}$

EDIT: ich habe hier ohne Grund für den Gleitreibungskoeffizienten 0.2 genommen. Dachte es gelesen zu haben, was aber am Prinzip nichts ändert
-------------------------------------------------------------------------------------------------

und nun wird überlegt: 3 Gleichungen mit 5 Variablen, das geht nicht. Schön wäre es, wenn die beiden Massen bekannt wären...

Und wie ich gerade lese sind die auch bekannt, aber du meinst ja darauf verzichten zu können und treibst einen in die allgemeine Rechnung.
Und da mach' ich nicht mit. unglücklich

unglücklich

Aber du darfst gerne die Gleichungen mit den Formvariablen $\begin{eqnarray*} m_A , m_B \end{eqnarray*}$ lösen.

24.10.2015, 11:57

Rivago

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Hallo Dopap,

da hast du Recht. Vllt hätte ich es auch mit Zahlenwerten machen sollen, dann wäre ich früher am Ziel gewesen. Habe mich mal an die Vorgehensweise unseres Profs gehalten, der rechnet ewig lang nur theoretisch, klammert aus, erweitert und macht sonstwas für Sachen und am Ende hat er eine "kleine" knackige Formel dastehen. Das war nun auch mein Versuch..

Aber danke, hab es jetzt smile

smile

24.10.2015, 14:29

Dopap

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Zitat:

Original von Rivago

[...] der rechnet ewig lang nur theoretisch, klammert aus, erweitert und macht sonstwas für Sachen und am Ende hat er eine "kleine" knackige Formel dastehen.[...]

der macht eben theoretische Mechanik (Mathematik ) mit Einsetzen am Schluss.
Sieht halt beeindruckend aus.

Das werde ich jetzt gleich an der Balkenrolle mit den 15 Gleichungen versuchen Big Laugh

Big Laugh

Wink

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