Differentialgleichung auflösen nach Vorgabe

23.10.2015, 20:25	PatPat	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung auflösen nach Vorgabe Meine Frage: Hallo an alle die mir vielleicht helfen wollen, ich bräuchte ein oder zwei gute Ratschläge für eine Aufgabe an der ich hänge. Zeigen Sie, dass die folgende Funktion $\begin{eqnarray} y(t)=Ce^{-2t^3}+5 \end{eqnarray}$ , wobei C bel. Konstante aus $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ , Lösung der Differentialgleichung $\begin{eqnarray} \frac{dy(t)}{dt} + 6t^{2}y(t) - 30t^{2} = 0 \end{eqnarray}$ auf dem Intervall I := ] $\begin{eqnarray} - \infty , \infty \end{eqnarray}$ [ ist. Meine Ideen: Meine Rechnung bis jetzt war: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{dy(t)}{dt} = -6t^{2} + 30t^{2}<br /> \frac{dy(t)}{dt} = -6t^{2}(y(t) - 5)<br /> \frac{1}{(y(t) - 5)} dy(t) = -6t^{2} dt<br /> \end{eqnarray}$ unbestimmt integriert $\begin{eqnarray} <br /> \int \! \frac{1}{(y(t) - 5)} \, dy(t) = \int \! -6t^{2} \, dt<br /> ln(y(t) - 5) + c_{1} = -2t^{3} + c_{2}<br /> \end{eqnarray}$ In die Potenz von e erhoben $\begin{eqnarray} <br /> e^{c_{1}}(y(t) - 5) = e^{-2t^{3}}e^{c_{2}} <br /> y(t) - 5 = e^{-2t^{3}} \frac{e^{c_{2}}}{e^{c_{1}}}<br /> y(t) = (e^{c_{2}-c_{1}}) e^{-2t^{3}} + 5 <br /> \end{eqnarray}$ Nun kann ja $\begin{eqnarray} e^{c_{2}-c_{1}} \end{eqnarray}$ nur eine positive Konstante C sein und deckt nicht das gegebene Intervall I ab. Kann mir jemand sagen was ich hier falsch gemacht habe? Danke schon mal im Vorraus PatPat.
23.10.2015, 20:39	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es nur um einen Nachweis geht, reicht wohl bloßes Einsetzen und nachrechnen. Bilde also die Ableitung und setze anschließend in deine Gleichung ein.
23.10.2015, 20:56	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Und zu deiner Frage mit der positiven Konstante: Wenn du $\begin{eqnarray} \int \! \frac 1 x \, dx=\ln\|x\| \end{eqnarray}$ benutzt, kommst du auf das richtige Ergebnis.
23.10.2015, 21:18	PatPat	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs jetzt Der andere Weg viel mir leider nicht ein $\begin{eqnarray} <br /> y(t) = Ce^{-2t^{3}}+5<br /> \frac{dy}{dt} = -6t^{2}Ce^{-2t^{3}}<br /> \frac{dy}{dt} + 6t^{2}Ce^{-2t^{3}} = 0<br /> \frac{dy}{dt} + 6t^{2}(Ce^{-2t^{3}} + 5 - 5) = 0<br /> \frac{dy}{dt} + 6t^{2}(y(t) - 5) = 0<br /> \frac{dy}{dt} + 6t^{2}y(t) - 30t^{2} = 0<br /> \end{eqnarray}$ Danke vielmals
24.10.2015, 00:35	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst auch Funktion und Ableitungsfunktion direkt einsetzen: $\begin{eqnarray} -6t^2\cdot ce^{-2t^3}+6t^2(ce^{-2t^3}+5)-30t^2=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -6t^2\cdot ce^{-2t^3}+6t^2\cdot ce^{-2t^3}+30t^2-30t^2=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=0 \end{eqnarray}$ Fertig.

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