gemeinsame Dichte bestimmen

23.10.2015, 21:23	Fenistil313	Auf diesen Beitrag antworten »
gemeinsame Dichte bestimmen Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe $\begin{eqnarray} X=cos(2\pi U), Y=sin(2\pi U) \end{eqnarray}$ für eine auf $\begin{eqnarray} (0,1) \end{eqnarray}$ gleichverteilte Zufallsvariable U. Ich soll nun $\begin{eqnarray} E[X\|Y] \end{eqnarray}$ bestimmen. Meine Ideen: Laut Definition ist der bedingte Erwartungswert ja das Integral über die gemeinsame Dichte von X und Y multipliziert mit x, also $\begin{eqnarray} \int x f(x\|Y) dx \end{eqnarray}$ . Ich weiß allerdings nicht, wie ich auf die gemeinsame Dichte $\begin{eqnarray} f(x\|Y) \end{eqnarray}$ komme. Kann mir jemand weiterhelfen? Vielen Dank!!
23.10.2015, 21:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} f(x \mid Y) \end{align}$ ist nicht die gemeinsame Dichte, sondern eine bedingte Dichte. Und diese Dichte existiert hier nicht, weil auch eine gemeinsame Dichte von $\begin{align} X,Y \end{align}$ nicht existiert, was man sehr einfach sieht: Es gilt $\begin{align} X^2+Y^2=1 \end{align}$ , d.h. alle $\begin{align} (X,Y) \end{align}$ liegen auf dem Einheitskreislinie $\begin{align} K \end{align}$ , und diese hat die Fläche 0. Damit kann das Verteilungsmaß $\begin{align} P_{X,Y} \end{align}$ nicht absolutstetig bzgl. des zweidimensionalen Lebesgue-Maßes sein, womit es auch keine Dichte $\begin{align} f_{X,Y} \end{align}$ geben kann. Tatsächlich ist die bedingte Verteilung $\begin{align} P(X \mid Y=y) \end{align}$ hier eine diskrete Verteilung, und zwar $\begin{align} P\left(X=\sqrt{1-y^2} \biggm\| Y=y\right) = P\left(X=-\sqrt{1-y^2} \biggm\| Y=y\right) = \frac{1}{2} \end{align}$ für $\begin{align} \|y\|<1 \end{align}$ $\begin{align} P(X=0 \mid Y=y) = 1 \end{align}$ für $\begin{align} \|y\|=1 \end{align}$ .
24.10.2015, 17:13	Fenistil	Auf diesen Beitrag antworten »
gemeinsame Dichte Ahhhhhhh!!! Ok, dann hab ich ja viel zu kompliziert gedacht! Das heißt, der bedingte Erwartungswert ist dann $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\sqrt{1-y^2}-\frac{1}{2}\sqrt{1-y^2}=0 \end{eqnarray}$ , oder?? Und wenn ich nun nur gegeben habe, dass X und Y unabhängig, gleichverteilt auf $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ sind, sowie $\begin{eqnarray} Z=XY \end{eqnarray}$ ist und ich möchte nun den bedingte Erwartungswert $\begin{eqnarray} E[X\|Z] \end{eqnarray}$ berechnen. Dann habe ich aber absolutstetige Variablen. Das heißt, nun brauche ich die gemeinsame Dichte von $\begin{eqnarray} (X,Z) \end{eqnarray}$ , und die von Z, sodass sich dann der bedingte Erwartungswert als $\begin{eqnarray} \frac{f(x,z)}{f_Z(z)} \end{eqnarray}$ ergibt, richtig? Wie komme ich denn nun auf die gemiensame Dichte von X,Z? Die sind ja nun abhängig voneinander...

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