Zeigen, dass Verknüpfung assoziativ ist.

23.10.2015, 23:53

kenogo99

Zeigen, dass Verknüpfung assoziativ ist.

Meine Frage:

Ich habe folgende Aufgabenstellung bekommen:

Sei G eine Menge mit assoziativer Verknüpfung

$\begin{eqnarray*} " \cdot " \end{eqnarray*}$

Sei e neutrales Element bezüglich dieser Verknüpfung, d.h. für jedes g Element von G gilt

$\begin{eqnarray*} e \cdot g = g \cdot e = g \end{eqnarray*}$ .

Auf der Potenzmenge P(G) von G definieren wir die Verknüpfung

$\begin{eqnarray*} P(G) \times P(G) \to P(G) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (A, B) \mapsto A \cdot B := \lbrace g \in G | \exists a \in A, b \in B : g = a \cdot B \rbrace \end{eqnarray*}$

Oder kürzer:

$\begin{eqnarray*} A \cdot B = \lbrace a \cdot b | a \in A, b \in B \rbrace \end{eqnarray*}$

Nun soll ich davon beweisen, dass es assoziativ ist. Ich frage mich bloß ob bei

$\begin{eqnarray*} a \cdot b \end{eqnarray*}$

der Punkt für die Multiplikation oder immernoch für die unbekannte Verknüpfung steht... Wenn er für die Multiplikation steht, weiß ich die Lösung, ansonsten überhaupt nicht.

Meine Ideen:

$\begin{eqnarray*} (A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C) \end{eqnarray*}$

Das muss ich zeigen. Angenommen der Punkt steht nicht für die Multiplikation, dann komme ich nur so weit:

$\begin{eqnarray*} \lbrace (a \cdot b) \cdot c | a \in A, b \in B, c \in C \rbrace = \lbrace a \cdot (b \cdot c) | a \in A, b \in B, c \in C \rbrace \end{eqnarray*}$

Wie ich weiter fortfahre weiß ich aber nicht...

24.10.2015, 00:14

RavenOnJ

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RE: Zeigen, dass Verknüpfung assoziativ ist.

Zitat:

Original von kenogo99
Ich frage mich bloß ob bei

$\begin{eqnarray*} a \cdot b \end{eqnarray*}$

der Punkt für die Multiplikation oder immernoch für die unbekannte Verknüpfung steht...

Der Punkt steht in beiden Fällen für die Verknüpfung, einmal von zwei Elementen von G, im anderen Fall von zwei Teilmengen von G.

Zitat:

Angenommen der Punkt steht nicht für die Multiplikation, dann komme ich nur so weit:

$\begin{eqnarray*} \lbrace (a \cdot b) \cdot c | a \in A, b \in B, c \in C \rbrace = \lbrace a \cdot (b \cdot c) | a \in A, b \in B, c \in C \rbrace \end{eqnarray*}$

Und wie? Dies einfach zu konstatieren ist kein Beweis.

24.10.2015, 00:27

kenogo99

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RE: Zeigen, dass Verknüpfung assoziativ ist.
Deswegen meinte ich ja, ich komme nicht weiter und brauche einen Lösungsansatz.

24.10.2015, 01:35

RavenOnJ

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RE: Zeigen, dass Verknüpfung assoziativ ist.
Der übliche Weg Mengengleichheit zu beweisen: Zeige, dass alle Elemente der linken Menge in der rechten enthalten sind und umgekehrt. Dass also die linke Menge Teilmenge der rechten ist und die rechte Menge Teilmenge der linken. Benutze dabei, dass die Assoziativität für jedes Tripel von Elementen vorausgesetzt wird.

24.10.2015, 09:24

kenogo99

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RE: Zeigen, dass Verknüpfung assoziativ ist.
Okay danke, bloß wo wurde das vorausgesetzt?

24.10.2015, 12:13

RavenOnJ

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RE: Zeigen, dass Verknüpfung assoziativ ist.

Zitat:

Original von kenogo99
Okay danke, bloß wo wurde das vorausgesetzt?

"Sei G eine Menge mit assoziativer Verknüpfung"

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Zeigen, dass Verknüpfung assoziativ ist.

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