Vollständige Induktion, Ungleichung

24.10.2015, 10:48	johnny94	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion, Ungleichung Meine Frage: Ich habe Probleme beim Abschätzen von Ungleichungen. und wäre dankbar wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte. Gegeben ist $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N , n\geq 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2} }< 2- \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: IA: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{2} \frac{1}{k^{2} } < 2-\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{5}{4} < \frac{6}{4} \end{eqnarray}$ IS: Formel stimmt für ein $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ Z.z. Formel stimmt für n+1. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k^{2} }<2-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ Ich weiß man muss sich langsam von der linken Seite auf die rechte Seite hocharbeiten, aber das Abschätzen durchblicke ich nicht wirklich.
24.10.2015, 11:03	johnny94	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion, Ungleichung Ich habe eine Seite zu dem Beispiel gefunden. Der Nebel hat sich aber noch immer nicht wirklich gelichtet. Wie kommt man auf die Zwischenschritte? http://www.mathelounge.de/221080/vollstandige-induktion-bei-einer-ungleichung-%CF%83-1-k-2-2-1-n
24.10.2015, 11:25	mrdo87	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, der erste Schritt sollte nun sein, die Summe so aufzuteilen, dass du die Induktionsvorausetzung wieder einsetzen kannst. Also in die Form bringen, dass du $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} \end{eqnarray}$ hinschreiben kannst. Ist dieser erste Schritt klar? Hierfür muss man nur die Summenzeichen verstanden haben.
24.10.2015, 11:40	johnny94	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke der erste Schritt ist mir jetzt klar. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k^{2} } = \frac{1}{1^{2} }+\frac{1}{2^{2} }+....+\frac{1}{n^{2} }+ \frac{1}{(n+1)^{2} } \end{eqnarray}$ Könnte ich hier auch ein Istgleich schreiben oder? $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k^{2} } = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2} } +\frac{1}{(n+1)^{2} } \end{eqnarray}$
24.10.2015, 12:12	johnny94	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat sich erledigt, habe ein gut erklärendes Youtube-Video mit genau diesem Beispiel gefunden. Hier der Link falls es jemanden interessiert. https://www.youtube.com/watch?v=S2tkLx019QI Trotzdem vielen Dank für die Hilfe.
24.10.2015, 12:18	mrdo87	Auf diesen Beitrag antworten »
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24.10.2015, 12:18	johnny94	Auf diesen Beitrag antworten »
Obwohl eine Frage habe ich doch noch, wenn ich mich zum Ergebnis hinarbeite, darf ich dabei dazwischen Istgleich verwenden. Es muss ja eigentlich nur einmal ein < Zeichen vorkommen oder?
24.10.2015, 12:57	mrdo87	Auf diesen Beitrag antworten »
klar $\begin{eqnarray} = \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \le \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} < \end{eqnarray}$ kannst du so oft benutzen, wie du magst
24.10.2015, 13:00	johnny94	Auf diesen Beitrag antworten »
Besten Dank.

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