Basis eines Vektorraums finden

24.10.2015, 11:40

_89t8g-----------((

Basis eines Vektorraums finden

Meine Frage:
Angenommen ich habe folgenden Vektorraum:

$\begin{eqnarray*} {y \in \mathbb{R}^3 | y_1 + y_2 = 0} \end{eqnarray*}$

WIe finde ich die Basis?

Meine Ideen:
Also angenommen ich soll nicht die Standardbasis verwenden, was ist das allgemeine Vorgehen zum Finden einer Basis?

Hingucken, Erkennen und Ausprobieren? Oder gibt es da einen rechnerischen Weg, den man immer einschlagen kann?

24.10.2015, 12:20

bijektion

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Zitat:

Also angenommen ich soll nicht die Standardbasis verwenden, was ist das allgemeine Vorgehen zum Finden einer Basis?

Die Standardbasis wird wohl kaum funktionieren... Überleg dir erstmal, welche Bedingungen du hast, z.B. für $\begin{eqnarray*} y_3 \end{eqnarray*}$ .

24.10.2015, 14:27

_89t8g-----------((

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$\begin{eqnarray*} y_3 \end{eqnarray*}$ ist hier immer 0, richtig

die Vektoren sehen ja so aus: $\begin{eqnarray*} (-y_2, y_2, 0) \end{eqnarray*}$ , oder?

Findet man die Basis jetzt nur durch Herumprobieren?

25.10.2015, 08:37

bijektion

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} y_3 \end{eqnarray*}$ ist hier immer 0, richtig

Nein. Für $\begin{eqnarray*} y_3 \end{eqnarray*}$ gibt es doch keinerlei Einschränkungen.

Zitat:

die Vektoren sehen ja so aus: $\begin{eqnarray*} (-y_2, y_2, 0) \end{eqnarray*}$ , oder?

Genau. Nein, jetzt wählst du einfach einen bestimmen von dieser Form und packst den für $\begin{eqnarray*} y_3 \end{eqnarray*}$ dazu.

02.11.2015, 11:18

_89t8g-----------((

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So, wieder da.

Das heißt, mögliche Vektoren sind z. B. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}<br /> -1 \\ 1 \\ 3<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}<br /> -2 \\ 2 \\ 6,154<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ richtig?

Das heißt, Basen sind nun alle Vektoren, bei denen die erste Komponente das Negative der zweiten Komponente ist und die dritte Komponente irgendwas ist, wobei die ersten beiden Komponenten der gewählten Vektoren nicht reelle Vielfache sein dürfen...

Das heißt aber, man findet die Basis generell nur durch Hinschauen und Überlegen? Oder gibt es einen rein rechnerischen Weg, den die Profi-Mathematiker anwenden?

Wie läuft das denn dann bei richtig komplizierten Vektorräumen?

02.11.2015, 11:47

Elvis

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Die dritten Komponenten dürfen nicht im gleichen Verhältnis stehen wie die ersten beiden. Reelle Vielfache voneinander sind reelle Zahlen immer.

Beim Aufsuchen einer Basis hilft stets, die Dimension des Vektorraums zu kennen.

Bei richtig komplizierten Vektorräumen findet bisher niemand eine Basis. Wenn du berühmt werden willst, gib eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ - Vektorraums $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ an.

02.11.2015, 11:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von _89t8g-----------((
Das heißt, Basen sind nun alle Vektoren, bei denen die erste Komponente das Negative der zweiten Komponente ist und die dritte Komponente irgendwas ist, wobei die ersten beiden Komponenten der gewählten Vektoren nicht reelle Vielfache sein dürfen...

Ich weiß jetzt nicht, was du mit "wobei die ersten beiden Komponenten der gewählten Vektoren nicht reelle Vielfache sein dürfen", aber eine mögliche Basis wäre $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Noch etwas einfacher wäre die Basis $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von _89t8g-----------((
Das heißt aber, man findet die Basis generell nur durch Hinschauen und Überlegen? Oder gibt es einen rein rechnerischen Weg, den die Profi-Mathematiker anwenden?

In den Fällen, wo der Vektorraum isomorph zum Kern eines linearen Gleichungssystems ist, kann man relativ einfach mit dem Gauß-Verfahren zu einer Basis kommen.

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