Einfacher Beweis

24.10.2015, 13:52

keinplan:

Einfacher Beweis

Meine Frage:
a,b sind Element aus R. Zeigen sie folgende Aussagen:

a) Ist b>=0 und a^2<=b^2 so folgt dass a<=b

b)Ist a^2<=b^2 folgt /a/ <= /b/

Meine Ideen:
Mir fehlt hier nämlich der Ansatz, ich hab gedacht man könnte es mit einem indirekten Beweis machen:
a) Annahme a>b; dann quadrieren a^2>b^2 und dann zeigen, dass das ein Widerspruch zur Behauptung a^2<=b^2 ist... Geht das denn so einfach oder was sind elegantere Möglichkeiten?

24.10.2015, 14:11

steviehawk

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RE: Einfacher Beweis

Zitat:

Original von keinplan:

Meine Ideen:
Mir fehlt hier nämlich der Ansatz,

warum nennst du es dann "Einfacher Beweis" ? Big Laugh

a) z.z. $\begin{eqnarray*} b \geq 0; \ a^2 \leq b^2 \Rightarrow a \leq b \end{eqnarray*}$

hast du schon versucht das ganze mit Kontraposition zu zeigen?

Also Ansatz: $\begin{eqnarray*} a \geq b \Rightarrow a^2 \geq b^2 \end{eqnarray*}$

Gruß Stevie

24.10.2015, 15:09

keinplan:

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Das heißt ich muss es einfach nur quadrieren und dann ist es bewiesen?

24.10.2015, 15:37

steviehawk

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Zitat:

Original von keinplan:
Das heißt ich muss es einfach nur quadrieren und dann ist es bewiesen?

Nein.

Wir haben $\begin{eqnarray*} a \geq b \ (*) \end{eqnarray*}$

Nun multiplizieren wir diese Ungleichung mit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Unter der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} b \geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt mit $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ jetzt natürlich auch $\begin{eqnarray*} a \geq 0 \end{eqnarray*}$ daher müssen wir in der Ungleichung auch das Zeichen nicht drehen. Wir erhalten:

$\begin{eqnarray*} a^2 \geq ba \end{eqnarray*}$

hast du ne Idee wie man von da ab weiter machen könnte?

24.10.2015, 16:29

keinplan:

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So?
Da $\begin{eqnarray*} a\geq b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^{2} \geq ba\geq b^{2} a^{2} \geq b^{2} \end{eqnarray*}$

Und noch eine Anmerkung:
Ist die Kontraposition nicht $\begin{eqnarray*} a> b\Rightarrow a^{2} >b^{2} \end{eqnarray*}$

24.10.2015, 16:38

steviehawk

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Zitat:

Original von keinplan:
Und noch eine Anmerkung:
Ist die Kontraposition nicht $\begin{eqnarray*} a> b\Rightarrow a^{2} >b^{2} \end{eqnarray*}$

Da hast du Recht. Augenzwinkern

Aber woher weißt du $\begin{eqnarray*} ba > b^2 \end{eqnarray*}$

24.10.2015, 16:46

keinplan:

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Wegen $\begin{eqnarray*} a>b \end{eqnarray*}$ hab ich gedacht ...

24.10.2015, 16:51

steviehawk

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Ja vielleicht habe ich jetzt bisschen doof gefragt Big Laugh

bestimmt hast du es schon richtig gemacht:

$\begin{eqnarray*} a > b \end{eqnarray*}$ haben wir einmal mit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ multipliziert um auf $\begin{eqnarray*} a^2 > ba \end{eqnarray*}$ zu kommen.

Das gleich macht man noch einmal aber mit $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . Also

$\begin{eqnarray*} a > b \Rightarrow ab > b^2 \end{eqnarray*}$ .

Ingesamt erhält man:

$\begin{eqnarray*} a^2 > ba = ab > b^2 \end{eqnarray*}$

Bei der b) soll es:

$\begin{eqnarray*} a^2 \leq b^2 \Rightarrow |a| \leq |b| \end{eqnarray*}$

heißen oder?

24.10.2015, 16:58

keinplan:

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Ja das soll es.
Und in wie weit verändert das Betrageichen die Aufgabe b) in Bezug auf a)....das ist ja dann fast das gleiche?

24.10.2015, 21:43

steviehawk

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Mit Kontraposition war die a) ja:

$\begin{eqnarray*} b > 0 ; \ a > b \Rightarrow a^2 > b^2 \end{eqnarray*}$ und wegen $\begin{eqnarray*} b > 0 \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} a > 0 \end{eqnarray*}$

Also gilt hier beides mal: $\begin{eqnarray*} |a| = a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |b | = b \end{eqnarray*}$

Wenn wir die b) jetzt auch mit Kontraposition zeigen, dann haben wir ja:

$\begin{eqnarray*} |a| > |b| \Rightarrow a^2 > b^2 \end{eqnarray*}$ aber hier haben wir die Voraussatzung $\begin{eqnarray*} b \geq 0 \end{eqnarray*}$ nicht.

Es gilt also nicht $\begin{eqnarray*} |b| = b \end{eqnarray*}$ sondern:

$\begin{eqnarray*} |b| = \begin{cases} b & b \geq 0 \\ -b & b < 0 \\ \end{cases} \end{eqnarray*}$

Es geht vielleicht auch anders, aber spontan fällt mir eine Fallunterscheidung ein.

Fall 1:
$\begin{eqnarray*} b \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann haben wir einfach die Aufgabe a)

Fall 2:
$\begin{eqnarray*} b < 0 \end{eqnarray*}$

Vielleicht ließt noch jemand mit und hat ne schnellere Idee. Big Laugh

25.10.2015, 08:01

keinplan:

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Muss ich beim zweiten Fall, dann nochmal eine Fallunterscheidung machen, weil a kann ja einmal <0 und einmal >0 sein......?

25.10.2015, 10:26

steviehawk

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Ja so hätte ich es gemacht. Aber mir erscheint es nach wie vor umständlich. Aber es führen ja bekanntlich viele Wege nach Rom. Ich hoffe wir kommen damit auch an Big Laugh

25.10.2015, 10:29

keinplan:

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Bei Fall 2.2 ( a>0 und b<0 ) komm ich nicht weiter...endet immer im Widerspruch zu a^2 > b^2.

25.10.2015, 12:03

steviehawk

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Ich überlege gerade ob man nicht einfach die Wurzel ziehen kann. Es gilt ja:

$\begin{eqnarray*} x \leq y \Leftrightarrow \sqrt{x} \leq \sqrt{y} \end{eqnarray*}$ wegen der Monotonie der Wurzelfunktion

Also könnte man wie folgt umformen:

$\begin{eqnarray*} a^2 \leq b^2 \Leftrightarrow \sqrt{a^2} \leq \sqrt{b^2} \Leftrightarrow |a| \leq |b| \end{eqnarray*}$

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