Injektivität und Surjektivität von Verkettungen

24.10.2015, 14:30

EMP_Rockhand

Injektivität und Surjektivität von Verkettungen

Meine Frage:
Hallo liebe Gemeinde,
nehmen wir an A,B,C seinen beliebige Mengen und f:A->B und g:B->C beliebige Abbildungen ... Wie kann beweisen (oder widerlegen), dass wenn f surjektiv ist auch g?f surjektiv ist bzw. wenn f injektiv ist auch g?f injektiv ist ?

Meine Ideen:
Meine Idee wäre, zunächst die Verkettung als eigene Abbildung aufzufassen, also zB. h:=g?f.

Dies wäre ja dann eine Abbildung von A auf C, oder?
Im Falle der Injektivität wissen wir ja aus der Vorgabe f sei injektiv, dass f(x1) = f(x2) $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ x1 = x2. Ergo müsste ja für g?f gelten x1=x2 $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ g(f(x1))=g(f(x2)) bzw. h(x1) = h(x2) ... Aber wo ist da der Ansatz für den gültigen Beweis?

24.10.2015, 16:00

steviehawk

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RE: Injektivität und Surjektivität von Verkettungen
Um etwas zu beweisen, muss man (hier) zeigen, dass die Definition erfüllt ist. Um es zu widerlegen, reicht es ein Gegenbeispiel anzugeben.

EDIT:Wir betrachtet also wie du vorgeschlagen hast, $\begin{eqnarray*} h : = g \circ f : A \to C \end{eqnarray*}$ als eigene Funktion. Das stimmt.

Wir nehmen weiter an, dass $\begin{eqnarray*} f: A \to B \end{eqnarray*}$ injektiv ist. Nun schauen wir mal an, was wir erhalten für $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} h(a) = h(b) \Leftrightarrow g(f(a)) = g(f(b)) \end{eqnarray*}$

Nun bräuchten wir aber die Injektivität von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und auf die Injektivität von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ zu schließen. Da geht also bestimmt was schief, also sucht man nach einem Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x \end{eqnarray*}$ das ist injektiv. $\begin{eqnarray*} g(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ das ist nicht injektiv.

so wir betrachten die Verkettung: $\begin{eqnarray*} h(x) = g(f(x)) = g(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ was nicht injektiv ist, obwohl f es war.

Gruß

24.10.2015, 16:03

RavenOnJ

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RE: Injektivität und Surjektivität von Verkettungen

Zitat:

Original von EMP_Rockhand
nehmen wir an A,B,C seinen beliebige Mengen und f:A->B und g:B->C beliebige Abbildungen ... Wie kann beweisen (oder widerlegen), dass wenn f surjektiv ist auch g?f surjektiv ist bzw. wenn f injektiv ist auch g?f injektiv ist ?

Beide Aussagen sind falsch und lassen sich durch Gegenbeispiele widerlegen.

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