Teilbarkeit Zeigen

24.10.2015, 15:35	lule	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeit Zeigen Meine Frage: Heyho, die Aufgabe lautet: Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} b+1 \end{eqnarray}$ jede Zahl $\begin{eqnarray} b^{2n+1} +1 \end{eqnarray}$ teilt. Mit $\begin{eqnarray} b, n\in \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: So ich wollte hier nur mal meinen Lösungsweg zeigen und fragen ob der so wohl korrekt wäre Wenn $\begin{eqnarray} b+1\| b^{2n+1}+1 \end{eqnarray}$ dann existiert die Zerlegung: $\begin{eqnarray} b^{2n+1}+1 = (b+1)k,\ k \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow b^{2n+3}+b^2 = (b+1)k b^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow b^{2(n+2)+1} = (b+1)k b^2 -b^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow b^{2(n+2)+1}+1 = (b+1)k b^2 -b^2 +1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow b^{2(n+2)+1}+1 = (b+1)k b^2 -(b^2 -1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow b^{2(n+2)+1}+1 = (b+1)k b^2 -(b -1)(b+1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow b^{2(n+2)+1}+1 = (b+1)(k * b^2 -(b -1)) \end{eqnarray*}$ Das soll in eine Vollständige Induktion kommen und soll nur den Rechenweg zeigen und nicht die komplette Induktion Wäre das in Ordnung ? Grüße
24.10.2015, 20:59	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeit Zeigen Das ist im Prinzip richtig, soweit ich das überblicke. Es geht aber etwas kompakter, wenn du mit dem Teiler-Operator \| arbeitest, ohne das k. Also: Sei $\begin{align} b+1\mid b^{2n+1}+1 \end{align}$ . Es ist nun $\begin{align} b^{2(n+1)+1}+1=b^2 b^{2n+1}+1= b^2 (b^{2n+1}+1)-b^2+1=\cdots \end{align}$ usw. Edit: Ich sehe gerade, dass du Fehler in deiner Rechnung hast, nehme den 1. Satz also zurück.
25.10.2015, 12:07	lule	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeit Zeigen Hey danke erstmal für die Antwort! Ja ich sehe gerade das ich auf der linken Seite der Gleichung im Exponenten falsch faktorisierrt habe, es sollte eigentlich $\begin{eqnarray} b^{2(n+1)+1} \end{eqnarray}$ heißen und nicht $\begin{eqnarray} b^{2(n+2)+1} \end{eqnarray}$ !! Ich hoffe, dass das der einzige Fehler war. Und danke für den anderen Lösungsansatz so werde ich mal die nächsten Aufgaben probieren ! Schönen Sonntag

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »