Differentialrechnung - Definition

24.10.2015, 16:44

Probability

Differentialrechnung - Definition

Hallo,

also grundsätzlich ist doch die Steigung $\begin{eqnarray*} k = \frac{\Delta y}{\Delta x} \end{eqnarray*}$ . Wenn man aber nun die Steigung eines Punktes von einem Graphen berechnen will, wir das aber schwer salopp mal jene Werte oben einzusetzen.

Darum hat man sich folgendes gedacht: Ich habe auf meinen Graphen eine Punkt $\begin{eqnarray*} x0 \end{eqnarray*}$ , der auch jenen Fukntionswert $\begin{eqnarray*} f(x0) \end{eqnarray*}$ hat und versuche eine Variable $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ immer mehr an $\begin{eqnarray*} x0 \end{eqnarray*}$ anzunähern, also im Prinzip ist das ein Megazoom, wo man dann nur eine Gerade im Punkt $\begin{eqnarray*} x0 \end{eqnarray*}$ sieht und da kann man sich dann das Steigungsdreieck einzeichen, wobei diese Gerade auch als "Tangente" bezeichnet wird.

Annäherung macht man folgendermaßen:
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

In dem Fall ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ immer ein ganz kleines bisschen größer wie $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und durch die Annäherung wird $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ halt immer kleiner und ist fast gleich $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ . Also bei einer Annäherung wird ja $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ niemals exakt gleich $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , denn dann hätten wir ja eine Division durch Null, was ja nicht definiert ist.
Achja und der Zähle repräsentiert dieses $\begin{eqnarray*} \Delta y \end{eqnarray*}$ und der Nenner das $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$

Ist erstmal alles bisher richtig so?

Konkretes Beispiel: $\begin{eqnarray*} f(x)=c \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ eine reele Zahl ist.
$\begin{eqnarray*} \frac{f(x)-f(x0)}{x-x_0} = \frac{c-c}{x-x_0} = 0 \end{eqnarray*}$

Warum sagt man hier jetzt, dass $\begin{eqnarray*} x \not = x_0 \end{eqnarray*}$ ist, aber dass $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x_0)=c \end{eqnarray*}$ ist? Klar man will keine Division durch Null erzielen, aber wenn $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x0) \end{eqnarray*}$ müsste auch $\begin{eqnarray*} x=x_0 \end{eqnarray*}$ sein.

Gruß
Probability

25.10.2015, 01:42

mYthos

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RE: Differentialrechnung - Definition

Zitat:

Original von Probability
...
Warum sagt man hier jetzt, dass $\begin{eqnarray*} x \not = x_0 \end{eqnarray*}$ ist, aber dass $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x_0)=c \end{eqnarray*}$ ist?
...
wenn $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x0) \end{eqnarray*}$ müsste auch $\begin{eqnarray*} x=x_0 \end{eqnarray*}$ sein.
...

Da machst du aber einen ziemlich fatalen Denkfehler.
Aus $\begin{eqnarray*} f(x) - f(x_0)= c - c = 0 \end{eqnarray*}$ kannst du keineswegs schließen, dass auch $\begin{eqnarray*} x=x_0 \end{eqnarray*}$

Nimm mal auf dieser Geraden zwei Punkte an, (2;c) und (5;c)
Die y-Differenz ist 0, aber die x-Differenz ist 3 (!)

$\begin{eqnarray*} f(x) - f(x_0)= c - c = 0 \end{eqnarray*}$ gilt hier deswegen, weil die Gerade parallel zur x-Achse ist.

mY+

25.10.2015, 07:56

Probability

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Ahhhja, stimmt stimmt, an das habe ich nicht gedacht. Danke dir.

Erste Frage:
Nun gut, da kommt nun Null raus, weil wir eben auch eine Steigung von 0 haben logischerweise. Aber wir nähern das x doch immer näher den x0 an sodass es nur einen minimal Unterschied hat. Was machen wir z.B., wenn im Zähler nicht Null rauskommt?
Da gibts doch einen Trick, sodass man rausheben kann und sodass man den Nenner wegkürzen kann, aber ist das auch legitim?

Zu meiner zweiten Frage:
Wie weiß ich dann überhaupt, ob die Funktion an der Stell x0 überhaupt differenzierbar ist? Z.B. bezogen auf mein Beispiel mit der Funktion f(x)=c. Wie weiß ich da jetzt, ob die Funktion differenzierbar ist?

25.10.2015, 15:46

mYthos

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1. Bitte NICHT drängeln, solche Posts werden als Spam angesehen und entfernt.
2. Allgemeine Grundlagen werden hier nicht vermittelt, weil wir kein Nachhilfeforum sind.

Nur so viel:

Der "Trick" manifestiert sich in der sogenannten "h-Methode".
Zunächst wird der Differenzenquotient für die Stellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+h \end{eqnarray*}$ bestimmt, wobei $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ eine sehr kleine Größe ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x + h) - f(x)} h \end{eqnarray*}$

Danach folgt der Grenzübergang (limes) für $\begin{eqnarray*} h \to 0 \end{eqnarray*}$ , >> Differentialquotient
Für die Grenzwertbestimmung ist nun der Differenzenquotient so lange umzuformen, bis es nicht mehr zu der unbestimmten Form $\begin{eqnarray*} [\frac 0 0] \end{eqnarray*}$ kommt. Meist kann man durch $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ kürzen oder den Grenzwert anderswie abschätzen.

Anstatt mit der Größe $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ wird der Differenzenquotient oft auch als $\begin{eqnarray*} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \end{eqnarray*}$ geschrieben und der Grenzübergang mit $\begin{eqnarray*} x \to x_0 \end{eqnarray*}$ durchgeführt.

Dies alles und auch die Differenzierbarkeit* ist in zahlreichen zur Verfügung stehenden Quellen nachzulesen.

(*) Dazu ist die Stetigkeit der Funktion (im Intervall) Voraussetzung, auch darüber bitte nachlesen!

Konkrete Fragen kannst du natürlich hier weiterhin gerne stellen.

mY+

25.10.2015, 19:14

Probability

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Okay, tut mir leid für das Drängeln und grundlegende Fragen. Danke dir für die Antwort.

Aber nun zum Thema:
D.h. die Funktion muss an dem Punkt bzw. im Intervall [x,x0] wo man differenziert stetig sein?
Gut, klingt ja logisch, denn an einer Sprungstelle oder da wo nichts ist zu differenzieren ist ja sinnlos, richtig?

Also das Prinzip von dieser "Annäherung" ist doch, dass man eben einen Punkt x0 hat an dem man differenzieren will und dafür zoomt man halt sehr sehr nahe ran und dann hat man im Prinzip eine Gerade und da lest man dann f(x)-f(x0) und x-x0 ab und nähert x an x0 an und dividiert das ganze nach der normalen "Steigungsformel". Naja eine Division durch Null darf natürlich nicht rauskommen und darum formt man den Term so um, dass sich der Nenner kürzt und dann hat man die Steigung am Punkt x0.

Ich weiß, schlampig formuliert, aber ich denke ich hab das ungefähre Prinzip verstanden. Oder was meint du?

25.10.2015, 19:41

mYthos

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Ja, so kann man es salopp sagen.

Übrigens:
Die Stetigkeit ist zwar eine notwendige Voaussetzung, diese ist aber nicht hinreichend.
Also kann es Stellen geben, an denen Stetigkeit, aber nicht Differenzierbarkeit vorliegt.
Das ist z.B. an Knickstellen (dort ändert sich die Steigung sprunghaft) der Fall.
Umgekehrt ist jede in einem Intervall differenzierbare Funktion dort auch stetig.

Alle diese Dinge sind grundlegend und wie gesagt, könntest du dich darüber noch informieren.

mY+

25.10.2015, 21:53

Probability

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Ok, danke verstehe.

Ok, bisher habe ich alles verstanden. Aber dann gibt es auch noch ein sog. "Restglied" r(h):
$\begin{eqnarray*} r(h)=f(x_0+h)-f(x_0)-f'(x_0)*h \end{eqnarray*}$

Ursprünglich habe ich ja den Differentialquotienten $\begin{eqnarray*} f'(x0) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}} \end{eqnarray*}$

Warum darf ich hier einfach das h rüber multiplizieren und dann den Term der Links steht nach rechts addieren und dann sagen, dass der rechte Term ein Restglied r(h) ist? r(h) ist doch eigentlich Null laut logischer Umformung oder?

26.10.2015, 11:16

mYthos

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Das Restglied ist Null, wenn $\begin{eqnarray*} h = x - x_0 \end{eqnarray*}$ ebenfalls Null ist.
Das ist ja - wie du schon erkannt hast - das Ergebnis einer formalen (rein algebraischen) Umstellung der Gleichung.

Jedoch gibt es auch die Zerlegung der Funktion in ein Taylorpolynom. Dabei unterscheiden sich die Stellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ (um $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ) und daher auch die Funktionswerte $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ .
Deren Unterschied (Differenz) ist der Rest.
$\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist ein fester Wert, der sogenannte Entwicklungspunkt, in dem die Ableitung und auch alle höheren Ableitungen existieren (--> sh. Differenzierbarkeit und Taylor-Reihe, Potenzreihe)
In diesem Fall wird $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ mittels des Funktionswertes bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und der Ableitungen dortselbst approximiert. Der Unterschied ist jetzt nicht mehr Null, sondern ist durch das Restglied $\begin{eqnarray*} r(h) \end{eqnarray*}$ bestimmt.

Verwendet man nur die 1. Ableitung, handelt es sich um eine lineare Approximation.
Dabei wird die o.a. Restgliedbeziehung folgend umgeformt (mit $\begin{eqnarray*} h = x - x_0 \end{eqnarray*}$ ):

EDIT: Korrektur des Fehlers beim Kopieren in der mittleren Zeile!

$\begin{eqnarray*} r(h) = f(x_0 + h) - f(x_0) - f'(x_0) \cdot h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x - x_0) + r(h) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(x_0) + f \ '(x_0) \cdot (x - x_0) + r(h) \quad [h = x - x_0] \end{eqnarray*}$

Das Restglied $\begin{eqnarray*} r(h) \end{eqnarray*}$ wird vernachlässigt, wenn es klein ist. Da $\begin{eqnarray*} f'(x_0) \end{eqnarray*}$ die Steigung der Tangente bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist, sehen wir, dass der Funktionswert auf der Kurve mittels jenes auf der Tangente angenähert wird.
Dabei soll naturgemäß $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ relativ nahe bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ liegen, damit die Ungenauigkeit in Grenzen gehalten wird.

Je mehr Glieder (d.h. Ableitungen) für die Approximation verwendet werden, desto genauer wird diese.
Die quadratische Approximation ("Schmiegparabel") lautet demgemäß*

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(x_0) + f \ '(x_0)*(x- x_0) + f''(x_0) \cdot \frac 1 2 (x - x_0)^2 \end{eqnarray*}$

mY+
---------------------------

(*) Taylorreihe:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{k=0}^{n} f^{(k)}(x_0) \cdot \frac{(x - x_0)^k}{k!} + r_n = f(x_0) + \sum\limits_{k=1}^{n} f^{(k)}(x_0) \cdot \frac{(x - x_0)^k}{k!} + r_n \end{eqnarray*}$

In der Praxis soll die Reihe konvergieren, also $\begin{eqnarray*} r_n \end{eqnarray*}$ gegen Null gehen.

26.10.2015, 11:42

Probability

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Ok, danke.

Zitat:

Original von mYthos
Jedoch gibt es auch die Zerlegung der Funktion in ein Taylorpolynom. Dabei unterscheiden sich die Stellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ (um $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ) und daher auch die Funktionswerte $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ .
Deren Unterschied (Differenz) ist der Rest.

Naja $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ Unterscheiden sich genau um $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ , was ja die "Entfernung" von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist. Eben: $\begin{eqnarray*} h=x-x_0 \end{eqnarray*}$
Und den Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ nennt man Rest? Was ist der Unterschied zu diesem "Rest" und dem "Restglied" $\begin{eqnarray*} r(h) \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} r(h) = f(x_0 + h) - f(x_0) - f'(x_0) \cdot h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r(h) = f(x) + f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x - x_0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(x_0) + f \ '(x_0) \cdot (x - x_0) + r(h) \quad [h = x - x_0] \end{eqnarray*}$

Wie kommst du von der ersten Zeile auf die zweite? Was du für h einsetzt ist mir klar, aber warum ändern sich auf einmal die Vorzeichen?

26.10.2015, 12:19

mYthos

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Ahh, da habe ich nur etwas falsch kopiert bzw. beim Kopieren vertauscht ...
Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} r(h) = f(x_0 + h) - f(x_0) - f'(x_0) \cdot h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x - x_0) + r(h) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(x_0) + f \ '(x_0) \cdot (x - x_0) + r(h) \quad [h = x - x_0] \end{eqnarray*}$

Korrektur auch im Beitrag.

mY+

26.10.2015, 12:25

Probability

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Gut, dann hast du da einfach auf f(x) umgeformt ok, aber bitte zuerst folgendes beantworten:

Zitat:

Jedoch gibt es auch die Zerlegung der Funktion in ein Taylorpolynom. Dabei unterscheiden sich die Stellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ (um $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ) und daher auch die Funktionswerte $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ .Deren Unterschied (Differenz) ist der Rest.

26.10.2015, 16:06

mYthos

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Die bisherige Behandlung bezog sich auf die Differenz des Näherungswertes zum exakten Wert, den man eben einfach als Rest / Restglied bezeichnen kann, welches möglichst klein sein sollte.

Von der Behandlung bzw. Abschätzung des Restgliedes gibt es zahlreiche Variationen.
Populär ist das Restglied nach Lagrange.

Darüber informiere dich am besten selbst, z.B. bei

--> https://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel
--> https://www.youtube.com/watch?v=DSftzdadYv0
usw.

mY+

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