Komplexe Zahlen Beweis

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25.10.2015, 11:03	Diderot	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen Beweis Meine Frage: Aufgabe: [attach]39471[/attach] Ich habe eine Lösung, weiß aber nicht, ob es korrekt ist. Meine Ideen: Ich habe mich bei meinem Beweis auf die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen mit Polarkoordinaten bezogen. Sei also $\begin{eqnarray} w^2 = z \end{eqnarray}$ Dann muss gelten $\begin{eqnarray} w^2 = \vert w \vert \cdot \vert w \vert \left[\cos(2\cdot \phi) + i\cdot \sin(2\cdot\phi)\right] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 2\cdot \phi = \alpha \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \phi = \frac{\alpha}{2} \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} w^2 = z \end{eqnarray}$ kann man dann schreiben: $\begin{eqnarray} w = \sqrt{\vert z \vert } \cdot \left[ \cos(\frac{\alpha}{2}) + i \cdot \sin(\frac{\alpha}{2}) \right] \end{eqnarray}$ Das rechne ich um in die kartesische Form: $\begin{eqnarray} w = (x^2 + y^2)^{\frac{1}{4}} \cdot \cos(\frac{\alpha}{2}) + i\cdot (x^2 + y^2)^{\frac{1}{4}} \cdot \sin(\frac{\alpha}{2}) \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} u = (x^2 + y^2)^{\frac{1}{4}} \cdot \cos(\frac{\alpha}{2}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v = (x^2 + y^2)^{\frac{1}{4}} \cdot \sin(\frac{\alpha}{2}) \end{eqnarray}$ Ich habe dann Zahlen eingesetzt und es scheint zu funktionieren. Aber die Lösung sieht irgendwie komisch aus ... :?
25.10.2015, 12:23	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Da steckt aber noch ein Winkel drin, der nicht durch x und y ausgedrückt wurde. Erst wenn Du das gemacht hast, hast Du eine mögliche Lösung ermittelt. Ich denke auch eher, dass es bei der Aufgabe darum ging die Gleichung $\begin{eqnarray} (u+iv)^2=x+iy \end{eqnarray}$ nach u und v aufzulösen.
25.10.2015, 15:38	Diderot	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Wie krieg ich die Winkel hier los ? :S 2. Naja, wenn ich es nach deinem Lösungsvorschlag mache, dann kommen ziemlich häßliche Terme heraus: $\begin{eqnarray} w^2 = (u+i\cdot v)(u+i\cdot v) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x = u^2 - v^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y = 2uv \end{eqnarray}$ Dann stelle ich die 2. Gleichung nach u um und erhalte eine quadratische Gleichung. $\begin{eqnarray} u = \frac{y}{2v} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x = \frac{y^2}{4v^2} - v^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow 0 = v^2- \frac{y^2}{4v^2} +x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow 0 = v^4 +xv^2 - \frac{y^2}{4} \end{eqnarray}$ Dann Substitution t = v^2 $\begin{eqnarray} 0 = t^2 + xt - \frac{y^2}{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow t_{1/2} = \frac{-x}{2} \pm \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{4}} \end{eqnarray}$ Dann zurücksubstituieren: $\begin{eqnarray} v=\pm\sqrt{\frac{-x}{2} \pm \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{4}}} = \pm \sqrt{\frac{-x \pm \sqrt{x^2 +y^2}}{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v^2 = \frac{-x \pm \sqrt{x^2 +y^2}}{2} \end{eqnarray}$ Hier weiß ich nicht weiter mit dem + -. Welches Vorzeichen muss ich nun nehmen ???
25.10.2015, 15:41	Diderot	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso ... Das Vorzeichen muss + sein. Der Term unter Wurzel ist vom Betrag her größer als x. Wenn ich da also ein Minus hinsetze, dann ist v^2 negativ, was unlogisch ist, also muss da ein + stehen. Richtig?
25.10.2015, 15:46	Diderot	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich also mein berechnetes v einsetze in x = u^2-v^2 bekomme ich: $\begin{eqnarray} x = u^2 - \frac{-x + \sqrt{x^2 +y^2}}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow u = \pm \sqrt{\frac{x + \sqrt{x^2 + y^2}}{2}} \end{eqnarray}$ Jetzt muss man sich vielleicht überlegen, wann u und v positiv bzw. negativ sind ...
25.10.2015, 16:10	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Lies noch mal den Aufgabentext. Du sollst nur eine Zahl finden, nicht alle.
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25.10.2015, 17:57	Diderot	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll das heißen, ich kann mir die Vorzeichen aussuchen?
25.10.2015, 19:04	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ganz, aber es gibt zwei mögliche Lösungen. Bedenke, dass $\begin{eqnarray} t=v^2 \geq 0 \end{eqnarray}$ gelten muss. Du wirst um Fallunterscheidungen nicht herumkommen. (Vielleicht machst Du Dir doch eher Gedanken, wie Du den Winkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ über x und y ausdrücken kannst. Das wird insgesamt leichter.)
25.10.2015, 19:21	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
@Helferlein Er ist doch praktisch fertig. Wie du praktisch gesagt hast ist für $\begin{eqnarray} u,v \end{eqnarray}$ auch immer $\begin{eqnarray} -u, -v \end{eqnarray}$ auch eine Lösung. Die Frage ist also nur ob u und v das gleiche oder gedrehtes Vorzeichen haben. Und das sieht man sofort an $\begin{eqnarray} y = 2uv \end{eqnarray}$ , d.h. am Vorzeichen von $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ .
25.10.2015, 20:16	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, manchmal ist man einfach betriebsblind.
26.10.2015, 05:27	Diderot	Auf diesen Beitrag antworten »
Erledigt, danke.

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