geschlossen analytische Formel bestimmen

25.10.2015, 15:24	MH15	Auf diesen Beitrag antworten »
geschlossen analytische Formel bestimmen Meine Frage: Hallo Leute, ich hätte gerne eure Hilfe zu dieser Aufgabe: Es sei $\begin{eqnarray} \left(a_{n} \right)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ die rekursiv definierte Folge mit Startwerten $\begin{eqnarray} a_{0}= 0, a_{1}= 1 \end{eqnarray}$ , die durch die Rekursionsvorschrift $\begin{eqnarray} a_{n}= 6a_{n-1}-5a_{n-2} \forall n\geq 2 \end{eqnarray}$ gegeben ist. Ermitteln Sie bitte eine geschlossene analytische Formel zur Darstellung der Folgeglieder $\begin{eqnarray} a_{n},n\in \mathbb \mathbb N _{0} \end{eqnarray}$ , ausgehend vom Ansatz $\begin{eqnarray} a_{n} := cq^{n} \end{eqnarray}$ und den gegebenen Startwerten. Meine Ideen: Ich hab gerade keinen richtigen Ansatz.
25.10.2015, 16:44	Fetter Otter	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: geschlossen analytische Formel bestimmen Setze an mit $\begin{eqnarray} a_n=\alpha q^n+\beta. \end{eqnarray}$ Einsatzen von n=0, 1 und 2 liefert dann 3 Gleichungen, die Du ganz einfach auflösen kannst. Alternativ könntest Du die gegebene Rekursion umformen zu $\begin{eqnarray} a_n-a_{n-1}=5\left(a_{n-1}-a_{n-2}\right) \end{eqnarray}$ und damit weitermachen.
25.10.2015, 18:10	MH15	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort. Wie bist du darauf gekommen, also wie bist du Vorgegangen und warum ist die 5 und die 6 verschwunden? Kann man die einfach weglassen?
25.10.2015, 18:46	MH15	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte ich das nicht so machen, das ich die $\begin{eqnarray} c\cdot q^{n} \end{eqnarray}$ einfach in die Formel einsetze dann kriege ich: $\begin{eqnarray} c\cdot q^{n} = 6cq^{n-1} -5c q^{n-2} \end{eqnarray}$ Dann habe ich $\begin{eqnarray} c\cdot q^{n} -6cq^{n-1} +5c q^{n-2} = 0 \end{eqnarray}$ Und für n, n=2 einsetzen da n>=2 ist und die p/q Formel anwenden um erstmal die beiden nullstellen zu bekommen. Ginge das?
25.10.2015, 19:56	Fetter	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach doch einfach so wie ich's vorhin schon vorgeschlagen hatte: $\begin{eqnarray} a_0=0=\alpha+\beta \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_1=1=\alpha q + \beta \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_2=6=\alpha q^2 + \beta \end{eqnarray}$ Bestimme nun $\begin{eqnarray} \alpha,~\beta \text{ und }q \end{eqnarray}$ und das war's dann schon.

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