Dichte und offene Teilmengen der reellen Zahlen

25.10.2015, 15:57	Weierstrass007	Auf diesen Beitrag antworten »
Dichte und offene Teilmengen der reellen Zahlen Meine Frage: Hallo, Ich studiere im dritten Semester Mathematik und stehe am Anfang der Maßtheorie im Rahmen der Analysis 3. Dadurch bin ich auf eine Aufgabe gestoßen, die im Endeffekt verlangt zu jedem positiven Epsilon eine offene, dichte Teilmenge von IR zu finden, deren Lebesgue-Maß kleiner als eben dieses Epsilon ist. Meine Ideen: Also mir sind die Definitionen von Offenheit und Dichtheit bekannt, außerdem auch dass zum Beispiel die rationalen und die irrationalen Zahlen dicht in IR liegen. Beide sind meines Wissens weder offen noch abgeschlossen. Mir fehlt vorallem mal ein Beispiel für eine offene und dichte Teilmenge von IR.
25.10.2015, 15:59	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichte und offene Teilmengen der reellen Zahlen Ich nehme an ihr habt gezeigt, dass $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ eine Nullmenge ist. Schau dir den Beweis noch einmal an.
25.10.2015, 16:18	Weierstrass007	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichte und offene Teilmengen der reellen Zahlen Leider nein. Szenario ist wie folgt: Die Aufgabe ist auf'm ersten Übungszettel. Die Konstruktion des Lebesguemaßes hat grad erst angefangen und ist laut Prof. in 3 Sitzungen beendet. Man hat aber schon ein paar Infos wie : Offene/Abgeschlossene Mengen sind messbar, L-Maß ist translationsinvariant, innere/äußere Regularität... Aber bisher ist halt nicht viel passiert und erst recht wenig bewiesen worden. Nullmenge ist bisher einfach nur eine Menge mit Maß 0, mit der leeren Menge als Beispiel. Es wird auf dem Übungsblatt geraten sich eine Folge zu suchen deren Punkte dicht in IR liegen und dann geeignete Umgebungen dieser Punkte zu vereinigen (abzählbar viele also), sodass das Maß klein wird. Außerdem haben wir die Rechen-Regeln zum Maß einer symmetrischen Differenz und zum Maß einer Vereinigung in der vorigen Aufgabe zu beweisen (was ja leicht ist...) außerdem hat man es auf dem Zettel mit der Cantor-Menge zu tun, die ist aber nicht offen... Ich hoffe mein Problem ist im Rahmen meiner beschränkten Möglichkeiten adäquat gestellt. Ich wäre auch für jedes Beispiel einer dichten, offenen Teilmenge von IR ( die nicht IR selber ist) dankbar!
25.10.2015, 16:25	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichte und offene Teilmengen der reellen Zahlen Also die Idee ist die rationalen Zahlen durchzummerieren: Sei also $\begin{eqnarray} a_n : \mathbb N \to \mathbb Q \end{eqnarray}$ bijektiv. Jetzt überdeckt man alle $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ durch eine kleine offene Menge. Als abzählbare Vereinigung von offen Mengen ist die Vereinigung offen, und weil sie $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ enthält auch dicht. Man muss nur aufpassen, dass die Mengen, die man nimmt sehr schnell sehr klein werden. Was du willst sind also $\begin{eqnarray} a_n \in O_n \end{eqnarray}$ offen mit $\begin{eqnarray} \mathcal L^1 ( \cup_{n = 0}^\infty O_n ) \leq \sum_{n = 0}^\infty \mathcal L^1 (O_n) \overset ! \leq \epsilon \end{eqnarray}$ . Überlege dir mal also welche Zahlen $\begin{eqnarray} b_n >0 \end{eqnarray}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty b_n \leq \epsilon \end{eqnarray}$ erfüllen, und lege dann um die a_n die Intervalle der entsprechenden Länge.
25.10.2015, 16:52	Weierstrass007	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, Ich denke das verstehe Ich, von der Idee her. Aber es ist doch so: egal wie schnell meine Umgebungen der rationalen Zahlen klein werden, es sollte doch gelten: $\begin{eqnarray} \bigcup\limits_{n=1}^\infty O_n = \mathbb R \end{eqnarray}$ Vielleicht hab ich auch grad den größten Dankfehler des Jahrhunderts, aber das macht mir doch dann mein Maß kleiner Epsilon kaputt, oder?
25.10.2015, 17:01	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ein Denkfehler, denn man zeigt ja, dass es nicht die reellen Zahlen sind. Eine falsche Begründung wäre sowas wie "Für jede reelle Zahl x liegt eine rationale Zahl ganz nahe, und daher überdecken wir diese reelle Zahl x". Das Problem damit ist, dass zwar die rationalen Zahlen sehr nahe liegen, aber sobald du eine feste rationale Zahl genommen hast, die seeehr nahe an x liegt. Aber die Kugel um diese rationale Zahl kann kleiner sein als dieser Abstand. Aaaaaber es liegt ja eine rationale Zahl noch viel näher an x -- aaaaber die Kugel um diese Zahl kann wieder deutlich kleiner sein. Verdeutlichung des Systems: Für jede rationale Zahl in $\begin{eqnarray} q \in (0, 1) \end{eqnarray}$ und lege eine Kugel mit Radius $\begin{eqnarray} \frac q 2 \end{eqnarray}$ . Dann überdeckst du niemals die 0, obwohl du natürlich 0 beliebig gut durch $\begin{eqnarray} \frac 1 n \end{eqnarray}$ approxmieren könntest.
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25.10.2015, 17:11	Weierstrass007	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ja, das hab ich übersehen, vielen Dank!

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