Beweis der Injektivität

25.10.2015, 16:12

Bambuzz

Beweis der Injektivität

Hallo miteinander und schonmal vielen Dank dafür, dass ihr euch die Zeit nehmt meinen Beitrag zu lesen!

Ich soll beweisen, dass eine Abbildung f : X -> Y injektiv ist. Und zwar genau dann, wenn für alle Teilmengen A, A' $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ X gilt :
f ( A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ A') = f (A) $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ f (A')

Mein Ansatz soweit wäre :

Sei A' $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ A -> dann f(A') $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ f(A)
Da A' $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ A -> A' $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ A = A'
Somit auch f(A') $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ f(A) = f(A') und f(A' $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ A) = f(A')

Habe mir dazu auch noch ein Beispiel ausgedacht :
f(x) = 1x+1 (also einfach eine Gerade mit der Steigung 1)
Ich hoffe ich habe das mit dem A und A' richtig gemacht. Soweit ich das verstanden habe müssten ja A und A' Teilmengen von X sein. Somit muss A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ A' ja diejenigen Elemente enthalten welche in A als auch in A' vorkommen.

Falls das stimmt würde ich euch bitten mir einen Tipp zu geben, wie ich jetzt darauf komme, dass f injektiv ist

25.10.2015, 16:57

RavenOnJ

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RE: Beweis der Injektivität

Zitat:

Original von Bambuzz

Mein Ansatz soweit wäre :

Sei A' $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ A -> dann f(A') $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ f(A)
Da A' $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ A -> A' $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ A = A'
Somit auch f(A') $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ f(A) = f(A') und f(A' $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ A) = f(A')

Dein Ansatz deckt aber nur einen Teil der möglichen Fälle ab. Es muss keineswegs $\begin{align*} A'\subset A \end{align*}$ gelten. Es kann auch $\begin{align*} A\subset A' \end{align*}$ gelten, oder dass es Elemente $\begin{align*} x\in A,y\in A' \end{align*}$ gibt mit $\begin{align*} x\notin A'\land y\notin A \end{align*}$ .

25.10.2015, 17:05

Bambuzz

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Stimmt. Das hatte ich nicht beachtet.
Könnte ich dann eine Menge B {B1, B2, ... Bn} definieren, wobei die Elemente aus B in der Schnittmenge, also A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ A' vorkommen müssen ?
Somit wäre B dann $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ von A $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ A' ?

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