Goniometrische Gleichung

25.10.2015, 16:32

Ticho

Goniometrische Gleichung

Meine Frage:
Hallo zusammen,

wer kann diese Gleichug nach Alpha umstellen und lösen. Ich sitze irgendwie auf dem Schlauch:

$\begin{eqnarray*} 0,4= 40* (1-cos\alpha ) +10 * sin\alpha \end{eqnarray*}$

Ich bedanke mch schon einmal für alle Antorten.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} 0,4- 40= 40* cos\alpha +10 * sin\alpha \end{eqnarray*}$

Der Cosinus ist ja:
$\begin{eqnarray*} cos\alpha = \sqrt{1-sinx^{2}\alpha } \end{eqnarray*}$

Leider weiß ich nicht wie ich jetzt weiter nach Alpha auflösen kann...

25.10.2015, 17:17

Bjoern1982

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Schau nochmal genau auf die Vorzeichen, bringe die Gleichung in die Form $\begin{eqnarray*} a+b \cdot sin(x)=c \cdot cos(x) \end{eqnarray*}$ und quadriere dann beide Seiten.
Benutze anschließend sin²(x)+cos²(x)=1 und substituiere sin(x)=z, um eine quadratische Gleichung zu erzeugen.

25.10.2015, 19:12

mYthos

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Alternativer Weg
Ein Nachteil bei diesem Lösungsweg liegt darin, dass die Umformungen wegen der Wurzeln nicht äquivalent sind und dadurch (falsche) Scheinlösungen entstehen.
Es sind demnach ALLE Lösungen auf ihren Wahrheitsgehalt zu überprüfen, also die Probe zu machen.

Eine weniger bekannte Methode umgeht dieses Problem und bringt nur zutreffende Lösungen.
Allgemein gilt dies für Gleichungen der Form

$\begin{eqnarray*} a \sin x + b \cos x = c \end{eqnarray*}$
----------------------------------

Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} c = a \sin x + b \cos x \end{eqnarray*}$ kann als $\begin{eqnarray*} r \sin (x + h) \end{eqnarray*}$ geschrieben werden, wobei $\begin{eqnarray*} r \cos h = a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r sin h = b \end{eqnarray*}$ ist (*).
Es folgt $\begin{eqnarray*} \tan h = \frac b a \end{eqnarray*}$ . Es ist zwar $\begin{eqnarray*} r^2 = a^2 + b^2 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ kann - je nach Vorzeichen von h bzw. a und b - auch negativ werden.

(*) Beweis mit Summensatz und Koeff.vergl.

Der zuletzt erhaltene neue Term kann nun leicht nach x umgestellt werden:

$\begin{eqnarray*} x = \arcsin \left( \frac c r \right) - \arctan \frac b a \end{eqnarray*}$
______________________________________________________________

Auf dein Beispiel [ $\begin{eqnarray*} 100 \sin x - 400 \cos x = -396 \end{eqnarray*}$ ] umgesetzt ist

$\begin{eqnarray*} \tan h = -4; \ r = -100 \sqrt{17} \end{eqnarray*}$

Somit hast du zu lösen:

$\begin{eqnarray*} 100 \sqrt {17} \cdot \sin (x + \arctan(-4)) = -396 \end{eqnarray*}$

mY+

26.10.2015, 11:49

Algebronstus

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RE: Alternativer Weg
Ach cool jetzt hab ich das auch verstanden!! Danke!
Tanzen

26.10.2015, 13:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von mYthos
Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} c = a \sin x + b \cos x \end{eqnarray*}$ kann als $\begin{eqnarray*} r \sin (x + h) \end{eqnarray*}$ geschrieben werden, wobei $\begin{eqnarray*} r \cos h = a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r sin h = b \end{eqnarray*}$ ist (*).
Es folgt $\begin{eqnarray*} \tan h = \frac b a \end{eqnarray*}$ . Es ist zwar $\begin{eqnarray*} r^2 = a^2 + b^2 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ kann - je nach Vorzeichen von h bzw. a und b - auch negativ werden.

Letzteres kommt drauf an, wie man $\begin{align*} h \end{align*}$ wählt, bisher hast du ja nur $\begin{align*} \tan(h)=\frac{b}{a} \end{align*}$ geschrieben:

(1) Wählt man $\begin{align*} h = \arctan\left( \frac{b}{a} \right) \end{align*}$ , so wird $\begin{align*} r \end{align*}$ negativ im Fall $\begin{align*} a<0 \end{align*}$ .

(2) Betrachtet man aber $\begin{align*} r,h \end{align*}$ als Polarkoordinaten von $\begin{align*} (a,b) \end{align*}$ , so ist $\begin{align*} r \end{align*}$ stets positiv, aber man kann als $\begin{align*} h \end{align*}$ im Fall $\begin{align*} a<0 \end{align*}$ dann nicht einfach den genannten $\begin{align*} \arctan \end{align*}$ nehmen, sondern muss das korrigieren je nach Quadrant.

26.10.2015, 15:11

mYthos

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@HAL
Das ist mir vollkommen klar.
Ich wollte $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ absichtlich NICHT - wie bei Polarkoordinaten üblich - als Betrag des Radiusvektors eingeführt wissen, sondern als Konstante, deren Vorzeichen vom Tangens des Winkels abhängt, der durch a und b festgelegt ist.
Also bevorzuge ich bei mir die Variante (1)
------------
Es gibt hier bereits einige Threads mit eben dieser Thematik (!), da haben wir, vorwiegend du und ich auch mitgewirkt Big Laugh

Ich glaube sogar, dass du es warst, der diesen alternativen Lösungsweg erst aufgezeigt hat.

mY+

26.10.2015, 20:10

HAL 9000

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Ja klar, (1) geht genauso. Ich wollte nur drauf hinweisen, dass dieses evtl. auftretende $\begin{align*} r<0 \end{align*}$ nicht eine Folge von $\begin{align*} \tan h = \frac{b}{a} \end{align*}$ , sondern von $\begin{align*} h = \arctan\left( \frac{b}{a} \right) \end{align*}$ ist. Augenzwinkern

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