Folge konvergent oder divergent

25.10.2015, 23:09

Ricardaa

Folge konvergent oder divergent

Meine Frage:
Hallo, ich soll überprüfen, ob folgende Funktionen konvergent oder divergent sind und den Grenzwert berechnen. Als Hinweis habe ich dass eine Folge divergent sein soll.
a) $\begin{eqnarray*} a_{n} =(1-\frac{2}{n²} )^{n} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} b_{n} =(1+\frac{2}{n²} )^{n²} \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} c_{n} =(1+\frac{2}{n} )^{n²} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also zu a) hab ich mir überlegt
$\begin{eqnarray*} a_{n} =(1-\frac{2}{n²} )^{n} =((1+\frac{\sqrt{2} }{n}) *(1-\frac{\sqrt{2} }{n}))^{n}=(1+\frac{\sqrt{2} }{n})^{n} *(1-\frac{\sqrt{2} }{n})^{n} \end{eqnarray*}$
und weil $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1+\frac{x}{n})^{n}= e^{x} \end{eqnarray*}$ hätte ich als Grenzwert $\begin{eqnarray*} e^{\sqrt{2} } *e^{-\sqrt{2} } =1 \end{eqnarray*}$

zu b) Ich hätte k=n² gesetzt und dann als Grenzwert e² erhalten.

c) $\begin{eqnarray*} c_{n} =(1+\frac{2}{n} )^{n²}= ((1+\frac{2}{n} )^{n})² \rightarrow (e^{2})² \end{eqnarray*}$

Allerdings soll ja eine der Folgen divergieren, also habe ich sicher irgendwo einen Fehler gemacht. Freue mich über jede Kritik smile

25.10.2015, 23:19

Leopold

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c) stimmt nicht:

$\begin{align*} \left( 1 + \frac{2}{n} \right)^{n^2} = \left( \left( 1 + \frac{2}{n} \right)^n \right)^{\text{???}} \end{align*}$

25.10.2015, 23:35

Ricardaa

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Aaahh so ein blöder Fehler Hammer

Also $\begin{eqnarray*} (1+\frac{2}{n} )^{n²}=((1+\frac{2}{n} )^{n})^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_{n} \rightarrow(e^{2})^{n}\rightarrow\infty \end{eqnarray*}$

Hmmm kann ich so argumentieren?

26.10.2015, 08:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ricardaa
Aaahh so ein blöder Fehler Hammer

Nein, das kannst du nicht. Dein Argument ist ähnlich zu dem Argument, daß $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n} )^n \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n} )^n \rightarrow 1^n = 1 \end{eqnarray*}$ gegen 1 konvergiert.

Mit der Bernoullischen Ungleichung kommst du hier aber weiter. smile

26.10.2015, 10:55

HAL 9000

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Wenn schon mit dem e-Grenzwert, dann müsste man sorgfältiger so argumentieren:

Aus $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{2}{n}\right)^n = e^2 \end{align*}$ folgt, dass für jedes $\begin{align*} \varepsilon>0 \end{align*}$ es ein $\begin{align*} n_0 \end{align*}$ gibt mit $\begin{align*} \left(1+\frac{2}{n}\right)^n > e^2-\varepsilon \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\geq n_0 \end{align*}$ , also z.B. bei Wahl von $\begin{align*} \varepsilon=e^2-7 \end{align*}$ ergibt das $\begin{align*} \left(1+\frac{2}{n}\right)^n > 7 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\geq n_0 \end{align*}$ mit einem passend groß gewählten $\begin{align*} n_0 \end{align*}$ . Woraus dann auch $\begin{align*} \left(1+\frac{2}{n}\right)^{n^2} > 7^n \end{align*}$ für $\begin{align*} n\geq n_0 \end{align*}$ folgt, und damit Divergenz.

Auch aufgrund der Länge dieser Argumentation plädiere ich eher für den Vorschlag von klarsoweit, die Divergenzbegründung besser mit der Bernoulli-Ungleichung zu erschlagen. Augenzwinkern

26.10.2015, 10:55

IfindU

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Wenn man etwas vorsichtiger ist, kann man so argumentieren. Für festes $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} \left( 1 + \frac 2 n \right)^{n^2} \geq \left[\left( 1 + \frac 2 n \right)^{n}\right]^{n_0} \to e^{2n_0} \end{eqnarray*}$ . Damit divergiert der linke Term nach Definition gegen $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ .

26.10.2015, 11:39

klarsoweit

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Ich weiß jetzt nicht, warum noch 2 weitere Beweisideen präsentiert werden, die nicht wirklich einfacher sind, als das, was ich schon gepostet hatte:

Zitat:

Original von klarsoweit
Mit der Bernoullischen Ungleichung kommst du hier aber weiter. smile

26.10.2015, 11:45

HAL 9000

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Angesichts des letzten Satzes in meinem Beitrag, der es an Deutlichkeit nicht vermissen lässt, gibt es eigentlich keinen Grund für dich, sauer zu sein. Augenzwinkern

Und es ist ja auch keine "weitere" Beweisidee, sondern nur die saubere Ausführung der von Ricardaa angedachten Variante.

26.10.2015, 15:08

Ricardaa

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Okay

Danke auf jeden Fall für die Hilfe.

Also mit der Bernoulli-Ungleichung, komme ich dann auf das

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n}\geq 1+nx\Rightarrow (1+\frac{2}{n} )^{n²}\geq 1+n²*\frac{2}{n} =1+2n \end{eqnarray*}$

Und nachdem die rechte Seite für n gegen unendlich, gegen unendlich konvergiert, klarerweise auch die linke Seite.

Eine Frage hätte ich noch zu a). Dabei verwende ich ja die Grenzwertsätze
$\begin{eqnarray*} a_{n} *b_{n} \rightarrow a*b \end{eqnarray*}$

Ich glaube aber mein Professor meinte mal, die darf ich nur verwenden, wenn auch wirklich ein Grenzwert existiert. Gerade bei dieser Aufgabe ist ja aber herauszufinden, ob er überhaupt existiert.
Oder hab ich da einfach was falsch in Erinnerung?

26.10.2015, 15:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ricardaa
Eine Frage hätte ich noch zu a). Dabei verwende ich ja die Grenzwertsätze
$\begin{eqnarray*} a_{n} *b_{n} \rightarrow a*b \end{eqnarray*}$

Ich glaube aber mein Professor meinte mal, die darf ich nur verwenden, wenn auch wirklich ein Grenzwert existiert.

Gemeint ist, daß die einzelnen Faktoren - also die Folgen a_n und b_n - jeweils einen Grenzwert haben. Wenn ja, dann konvergiert auch das Produkt c_n := a_n * b_n und zwar gegen a * b. Augenzwinkern

26.10.2015, 15:21

Ricardaa

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Achsoo! Verstehe!! Gut zu wissen! smile

Okay, dann ist mir die Aufgabe jetzt klar! Vielen Dank für die Hilfe!!

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