Man soll zeigen dass die reellen Zahlen ein irrationale Zahlen-Vektorraum ist

27.10.2015, 10:15

Luna43

Man soll zeigen dass die reellen Zahlen ein irrationale Zahlen-Vektorraum ist

Meine Frage:
Also die Frage steht schon in der Überschrift smile

Also Zeige dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ Vektorraum ist.

Meine Ideen:
Ich hab mir gedacht dass ich einfach belibeige Zahlen aus beiden Mengen nehme und zeige dass Addition und Multiplikation in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist. Aber das kommt mir zu einfach vor?

27.10.2015, 11:07

echnaton

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RE: Man soll zeigen dass die reellen Zahlen ein irrationale Zahlen-Vektorraum ist

Zitat:

Original von Luna43
Also die Frage steht schon in der Überschrift

Dort steht was von irrationalen Zahlen, obwohl in der Aufgabe $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ steht.

Du musst die Vektorraumaxiome prüfen, wobei vieles schon aus den Körperaxiomen und $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ folgt.

27.10.2015, 11:42

Luna43

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oh sry, ich meinte rationale Zahlen ^^'
Also das heißt dass ich bzgl. Addition und Multiplikation überprüfen muss ob es assoziativ,kommutativ und distributiv ist und es ein neutrales und inverses Element gibt, od? also, ob das dann alles $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist?
Wäre der Ansatz oben schon mal richtig? also dass ich zeige, dass es abgeschlossen ist?

27.10.2015, 12:09

Luna43

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Also mir ist nicht ganz klar, ob ich jetzt für die Axiome Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nehmen muss ^^'
Das ist jetzt mein erstes Semester an der Uni und Beweisen ist gerade nicht so meine Stärke derzeit xD

27.10.2015, 12:11

echnaton

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Zitat:

Original von Luna43
Also das heißt dass ich bzgl. Addition und Multiplikation überprüfen muss ob es assoziativ,kommutativ und distributiv ist und es ein neutrales und inverses Element gibt, od?

Ja, du musst u.a. zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R},+) \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe ist. Das kann man aber schnell abfrühstücken, wenn man weiß, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ein Körper ist. Die Distributivität ist in diesem Fall eine Eigenschaft der Skalarmultiplikation. Was weißt du über die Distributivität in diesem konkreten Fall? Beachte dabei $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ !

Zitat:

Original von Luna43
also, ob das dann alles $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist?
Wäre der Ansatz oben schon mal richtig? also dass ich zeige, dass es abgeschlossen ist?

Was meinst du mit alles? Das Ergebnis der Skalarmultiplikation $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ liegt i.A. nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ . Die Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation ist trivial. Und natürlich ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ als Körper in sich abgeschlossen.

Schreibe dir mal alle Vektorraumaxiome auf, so wie ihr sie definiert habt und versuche diese der Reihe nach zu überprüfen. Und mache dir dabei das Leben nicht unnötig kompliziert, indem du bereits bestehende Körperaxiome verwendest. Augenzwinkern

27.10.2015, 12:26

Luna43

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Aber durch die Axiome beweise ich doch nur, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum ist? irgendwie steh ich gerade auf der Leitung verwirrt

27.10.2015, 12:47

echnaton

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Das $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit der Addition und Multiplikation Körper sind, weißt du bereits aus der Vorlesung.
Deswegen musst du in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ gar nichts mehr beweisen.

Schau dir die Definition eines Vektorraums (über einem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{K}\ \end{eqnarray*}$ ) nochmal in Ruhe an. Dieser besteht aus einer Menge $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ (in diesem Fall $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ) und einer Verknüpfung (in diesem Fall $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ ).
$\begin{eqnarray*} (V,+) \end{eqnarray*}$ muss definitionsgemäß eine kommutative Gruppe sein. Du sollst also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R},+) \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe ist.

Desweiteren existiert eine Skalarmultiplikation $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \times V \to V \end{eqnarray*}$ . In unserem Fall also $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
Die Skalarmultiplikation entspricht hier der bekannten Multiplikation.

Zusätzlich werden weitere Forderungen an die Skalarmultiplikation gestellt. Diese solltest du aus deinen Unterlagen entnehmen können und einzeln überprüfen.

27.10.2015, 12:52

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Luna43
Aber durch die Axiome beweise ich doch nur, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum ist?

Das sollst du ja auch, allerdings mit Skalarkörper $\begin{align*} \mathbb{Q} \end{align*}$ , nicht $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ .

27.10.2015, 19:54

Luna43

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Achso ok, jetzt hab ichs verstanden Big Laugh

Eigentlich eh nicht so schwer ^^' Vielen Dank!