Summenzeichen innerhalb eines Summenzeichens

27.10.2015, 14:54

Dami26

Summenzeichen innerhalb eines Summenzeichens

Meine Frage:
Ich besuche momentan die ersten Vorlesungen zu Statistik und habe folgende Frage zur Aufgabe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{5} \left[xi-(0,2)\sum\limits_{j=1}^{5} xj \right] ^2 \end{eqnarray*}$

Man soll beweisen, dass dieser Term gleich
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{5} (xi)^2 - 0,2(\sum\limits_{i=1}^{5} xi)^2 \end{eqnarray*}$
ist.

Meine Ideen:
Der erste Schritt ist man muss die binomische Formel auflösen und dann das erste Summenzeichen vor jede einzelne Summe schreiben. Schließlich hat man
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{5} x^2 - \sum\limits_{i=1}^{5} (0,4xi * \sum\limits_{j=1}^{5} xj) + \sum\limits_{i=1}^{5} \left[0,2\sum\limits_{j=1}^{5} xj \right] ^2 \end{eqnarray*}$

Gegeben war, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{5} xi = \sum\limits_{j=1}^{5} xj \end{eqnarray*}$ aus der vorherigen Aufgabe

Die Schritte im ersten und im dritten Faktor verstehe ich.
Lediglich im zweiten Faktor erklärte mein Tutor, dass man von dem zweiten Faktor
auf $\begin{eqnarray*} -0,4 (\sum\limits_{i=1}^{5} xi * \sum\limits_{j=1}^{5} xj) \end{eqnarray*}$ kommt.

Aber normalerweise bezieht sich das erste Summenzeichen doch mit auf das zweite in diesem Term, sodass man diese nicht einfach ausmultiplizieren kann.
Ich hoffe ich habe meine Frage deutlich genug erklärt und Entschuldigung bereits für falsche mathematische Ausdrücke.

Danke sehr! smile

Edit by IfindU: LaTeX-Codes gesetzt. Du musst

code:
1:	[l]Dein LaTeX-Code[/l]

schreiben, damit das Forum weiss, was du gerne als LaTeX-Code interpretiert haben willst

27.10.2015, 16:22

IfindU

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RE: Summenzeichen innerhalb eines Summenzeichens
Du hast $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{5}\left (0,4x_i \cdot \sum\limits_{j=1}^{5} x_j\right) = \sum\limits_{i=1}^{5} (0,4x_i \cdot \lambda) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda = \sum\limits_{j=1}^{5} x_j \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ nicht von i abhaengt, haben wir also $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{5} (0,4x_i \cdot \lambda) = 0.4 \cdot \lambda \cdot\sum\limits_{i=1}^{5} x_i \end{eqnarray*}$ . Wir können nun wieder lambda einsetzen, und erhalten das gewünschte.

27.10.2015, 16:30

HAL 9000

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Irgendwie komisch, dass du die allgemeine Aussage

$\begin{align*} \sum_{i=1}^n \left[ x_i - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n x_j \right]^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 ~-~ \frac{1}{n} \left( \sum_{j=1}^n x_j \right)^2 \end{align*}$

nur für $\begin{align*} n=5 \end{align*}$ beweisen sollst. Aber zu deinen Fragen:

Zitat:

Original von Dami26
Gegeben war, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{5} xi = \sum\limits_{j=1}^{5} xj \end{eqnarray*}$ aus der vorherigen Aufgabe

Das muss nicht "gegeben" sein, diese Gleichheit ist ohne Vorkenntnis offensichtlich: Es ist dieselbe Summe, nur mit verschiedenen Laufindizes geschrieben. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Dami26
Lediglich im zweiten Faktor erklärte mein Tutor, dass man von dem zweiten Faktor
auf $\begin{eqnarray*} -0,4 (\sum\limits_{i=1}^{5} xi * \sum\limits_{j=1}^{5} xj) \end{eqnarray*}$ kommt.

Aber normalerweise bezieht sich das erste Summenzeichen doch mit auf das zweite in diesem Term, sodass man diese nicht einfach ausmultiplizieren kann.

Betrachten wir mal allgemein die Doppelsummen-Struktur $\begin{align*} S:=\sum_{i=1}^m \left( a_i\cdot \sum_{j=1}^n b_j \right) \end{align*}$ :

Die Zahl $\begin{align*} B:= \sum_{j=1}^n b_j \end{align*}$ ist bzgl. des äußeren Index $\begin{align*} i \end{align*}$ konstant, damit können wir diesen Faktor aus der Summe herausziehen:

$\begin{align*} S = \sum_{i=1}^m \left( a_i\cdot B \right) = B\cdot \sum_{i=1}^m a_i = \sum_{j=1}^n b_j \cdot \sum_{i=1}^m a_i \end{align*}$ .

Tja, und das ist es, was da steht, nur in vertauschter Faktorenreihenfolge. Augenzwinkern

EDIT: Sch... wenn ein Telefonanruf dazwischenkommt. smile

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