beweisen: summe von k=0 bis n n über k= 2^n binomischer lehrsatz

27.10.2015, 15:16	wetti123	Auf diesen Beitrag antworten »
beweisen: summe von k=0 bis n n über k= 2^n binomischer lehrsatz Meine Frage: hallo ich komme nicht wirklich mit dem beweis zurecht. und zwar ist die angabe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}= 2^{n} \end{eqnarray}$ ich kenne den binomischen lehrsatz und weiss auch dass wenn ich x=y=1 setzte, die behauptung bewiesen ist. Meine frage ist aber nun, warum kann ich einfach sagen x=y=1? Meine Ideen: ich habe mir überlegt, vielleicht kann ich das einfach so definieren, aber wenn ich gefragt werde, wie ich genau auf diese def gekommen bin, kann ich dann argumentieren dass ich anhand des binomischen Lehrsatzes gesehen habe, dass wenn x=y=1, die behauptung entsteht? oder gibt es da einen anderen Grund? lg und danke
27.10.2015, 15:33	UnicornSparkels	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, na aber die Einsen stehen doch da. Siehst du sie etwa nicht? $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\cdot 1^k\cdot 1^{n-k}=(1+1)^n=2^n \end{eqnarray}$
27.10.2015, 15:37	wetti	Auf diesen Beitrag antworten »
schon klar dass wenn ich es einsetze x=y=1 dann die einser dastehen. aber kann ich das einfach definieren.. dass ich halt die behauptung aufschreibe, den bin lehrsatz aufschreibe und dann einfach sage x=y=1 ?
27.10.2015, 15:39	UnicornSparkels	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe dein Problem nicht. Definieren musst du gar nichts. Du wendest den binomischen Lehrsatz an und setzt für x und y die entsprechenden Zahlen ein. Und das ist hier nun mal jeweils 1.
27.10.2015, 15:41	wetti	Auf diesen Beitrag antworten »
ok mein problem ist (falls es einproblem ist) warum ich weiss dass ich 1 einsetze ich meine hier ist es übersichtlich und ich kann mir denken dass wenn ich 1 einsetzte, ich dass beweise was ich beweisen will... aber nehmen mir mal an es ist nicht ersichtlich, woher weiss ich, dass ich 1 einsetzen soll/muss/darf.. sorry ich steh echt auf der leitung
27.10.2015, 15:45	UnicornSparkels	Auf diesen Beitrag antworten »
Achsoooooooo, ich glaube ich verstehe nun dein Problem. Also der Punkt ist hier ja gerade, dass $\begin{eqnarray} \binom{n}{k}=\binom{n}{k}\cdot 1^k\cdot 1^{n-k} \end{eqnarray}$ Daher auch wirklich die Gleichheit besteht. Denn du kannst die 1 ja so oft an den Binomialkoeffizienten multiplizieren wie du willst. Du veränderst ihn dadurch nicht. Das ist ja die schöne Eigenschaft der 1. Dein Problem ist wahrscheinlich, dass du dich "auf beiden Seiten der Gleichung gleichzeitig befindest". Du also keine konkrete Richtung einschlägst. Du siehst den Ausdruck $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \end{eqnarray}$ nun schaust du nach links und siehst das Ergebnis $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ und überlegst dir, dass dann wohl $\begin{eqnarray} x=y=1 \end{eqnarray}$ sein muss. Warum das so ist, scheint dir nicht klar zu sein. Du solltest es dir aber "von links nach rechts" überlegen. Den Ausdruck in der Summe so manipulieren, dass du erkennst, woher die $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ nun herkommen.
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