DGL System partikuläre Lösung

27.10.2015, 18:56

Mathema

DGL System partikuläre Lösung

Hallo,

es geht mal wieder um Differentialgleichungen. Dieses Mal würde ich gerne ein System lösen. Es geht um diesen Thread:

Differentialgleichungssystem (Variation der Konstanten)

Hier also noch mal das Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} x'=-2x+y+3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=-y+3e^{-t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z'=-2x+z \end{eqnarray*}$

Ich habe mir nun etwas angelesen und kann also mit (gefährlichem) Halbwissen glänzen. Ich meine den Lösungsweg zur homogenen Lösung einigermaßen zu verstehen. Die partikuläre Lösung kann ich leider nicht berechnen. Starten wir mal mit der homogenen Lösung. Also schreiben wir das System erstmal vektoriell:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 \\ 3e^{-t} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun berechne ich die Determinante (nach Sarrus) und setze diese dann = 0:

$\begin{eqnarray*} \det \begin{vmatrix} -2-\lambda & 1 & 0 \\ 0 & -1-\lambda & 0 \\ -2 & 0 & 1-\lambda \end{vmatrix} =(-2-\lambda)(-1-\lambda)(1-\lambda) \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} (-2-\lambda)(-1-\lambda)(1-\lambda)=0 \end{eqnarray*}$

Mit den Lösungen:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1=-2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lambda_2=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_3=1 \end{eqnarray*}$

Nun berechnen wir die Eigenvektoren:

EV 1: $\begin{eqnarray*} \lambda=-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ergibt den Vektor: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{3}{2}a \\0 \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

EV 2: $\begin{eqnarray*} \lambda=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ergibt den Vektor: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b \\ b \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

EV 3: $\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ergibt den Vektor: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also habe ich nun (a,b,c kann ich frei wählen, wenn ich das richtig verstanden habe):

$\begin{eqnarray*} y_h=c_1e^{-2t}\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}+c_2e^{-t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + c_3e^t\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, wenn ich die Aufgabe im anderen Thread richtig verstanden habe, galt es ja dieses zu berechnen und Aufgabe a) bestätigt mein Ergebnis.

Ich würde nun auch noch gerne die partikuläre Lösung berechnen, leider fehlt mir der Ansatz. Muss ich (eine) Konstante variieren? Kann ich wieder durch eine Ansatzfunktion zur Lösung gelangen? Für $\begin{eqnarray*} \lambda_2=-1 \end{eqnarray*}$ würde dann ja eine Resonanz vorliegen, wenn ich mich nicht täusche. Würde mich über Hilfe sehr freuen!

smile

31.10.2015, 23:19

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: DGL System partikuläre Lösung

Zitat:

Original von Mathema
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 \\ 3e^{-t} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun berechne ich die Determinante (nach Sarrus) und setze diese dann = 0:

Die Eigenwerte könntest du übrigens auch direkt ablesen. Du hast nämlich eine Blockdreiecksmatrix gegeben und die einzelnen Blöcke sind wieder Dreiecksmatrizen mit den Eigenwerten $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Ich würde nun auch noch gerne die partikuläre Lösung berechnen, leider fehlt mir der Ansatz. Muss ich (eine) Konstante variieren? Kann ich wieder durch eine Ansatzfunktion zur Lösung gelangen? Für $\begin{eqnarray*} \lambda_2=-1 \end{eqnarray*}$ würde dann ja eine Resonanz vorliegen, wenn ich mich nicht täusche. Würde mich über Hilfe sehr freuen!

In diesem Fall hast du Glück: Im System ist die Gleichung $\begin{eqnarray*} y'=-y+3\mathrm e^{-t} \end{eqnarray*}$ enthalten, die du einfach lösen kannst. Die Lösung für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ kannst du in $\begin{eqnarray*} x'=-2x+y+3 \end{eqnarray*}$ einsetzen.

01.11.2015, 11:38

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Che Netzer,

zunächst einmal vielen Dank für deine Antwort!
Habe ich dich nun richtig verstanden, dass ich die Gleichung $\begin{eqnarray*} y'=-y+3\mathrm e^{-t} \end{eqnarray*}$ ganz normal nach y lösen soll? Dann würde ich ja erhalten:

$\begin{eqnarray*} y(t)=ce^{-t}+3te^{-t} \end{eqnarray*}$

Das soll ich nun also hier einsetzen:

$\begin{eqnarray*} x'=-2x+y+3 \end{eqnarray*}$

Das ergibt dann:

$\begin{eqnarray*} x'=-2x+ce^{-t}+3te^{-t}+3 \end{eqnarray*}$

Soll ich das nun noch nach x(t) lösen? Wäre ich dann fertig?

01.11.2015, 15:48

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Danach fehlt nur noch $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ .

02.11.2015, 18:21

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} x=ce^{-2t}+3te^{-t}-2e^{-t}+\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} z=ce^t +3te^{-t}+\frac{2}{3}e^{-2t}-\frac{1}{2}e^{-t}+3 \end{eqnarray*}$

Und für die Lösung bilde in nun wieder die Summe aus homogener und partikulärer Lösung. Kann ich dann die Konstanten weglassen? Dann würde ich erhalten:

$\begin{eqnarray*} x(t)=3c_1e^{-2t}+c_2e^{-t}+e^{-2t}+3te^{-t}-2e^{-t}+\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(t)=c_2e^{-t}+e^{-t}+3te^{-t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z(t)=2c_1e^{-2t}+c_2e^{-t}+c_3e^t+e^t +3te^{-t}+\frac{2}{3}e^{-2t}-\frac{1}{2}e^{-t}+3 \end{eqnarray*}$

Wäre das erstmal richtig?

02.11.2015, 21:29

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt nicht alles im Detail nachgeprüft, aber die Terme, die ich mir sichprobenartig in der Probe angesehen habe, passen. Eventuelle Fehler sind also höchstens Tippfehler/banale Rechenfehler smile

02.11.2015, 21:37

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Prima - Tippfehler sind natürlich nicht auszuschließen, auch wenn ich noch mal kontrolliert habe, bei der Rechnung war ich mir allerdings ziemlich sicher. Nur der Weg war mir nicht ganz klar, habe es nun aber verstanden (denke ich)! Werde mich bei Zeiten mal an anderen Übungsaufgaben versuchen.

Tausend Dank für deine gute Hilfe! Freude

Neue Frage »

Antworten »

DGL System partikuläre Lösung

Verwandte Themen