Wahrheitsgehalt von Aussagen über Abbildung

27.10.2015, 20:45

Fabi1996

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Wahrheitsgehalt von Aussagen über Abbildung

Meine Frage:
Aufgabenstellung: Seien X; Y Mengen und f?X?Y eine Abbildung sowie A ? X, B ? Y. Welche der folgenden Aussagen
sind stets wahr? Man beweise diese und widerlege die anderen durch Angabe eines Gegenbeispiels.
1. Aussage: f ( f^(?1) ( B )) = B
2. Aussage: f^(-1)(f(A)) = A

Hallo,

ich habe Probleme überhaupt zu verstehen was die Aussage von mir will, vielleicht könnte mir jemand dabei helfen?

Meine Ideen:
Also zuerst mal habe ich verstanden, dass X Y Mengen sind, und abgebildet werden. Dabei ist die Menge A eine Teilmenge der Menge X, und B eine Teilmenge der Menge Y.
In der Aufgabe geht es wohl um das Urbild. Jetzt verstehe ich aber überhaupt nichts mehr.
Ein Urbild gibt ja im Prinzip wieder, welche x Werte einem (oder auch mehreren) Y-Werten zugeordnet werden.
Ich verstehe bei der Aufgabe nicht die Klammern, und auch nicht, warum da ein f dabei ist.
Durch die Definitionen in Wikipedia komme ich auch nicht weiter...

27.10.2015, 21:06

Leopold

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Vielleicht ein Beispiel:

Sei $\begin{align*} X = \mathbb{R} \end{align*}$ und $\begin{align*} Y = [-4,\infty) \end{align*}$ (reelles Intervall). Weiter sei

$\begin{align*} f: \, X \to Y \, , \ \ x \mapsto x^2 \end{align*}$

Kannst du $\begin{align*} f^{-1}(B) \end{align*}$ bestimmen für

1) $\begin{align*} B = [0,4] \end{align*}$

2) $\begin{align*} B = [-1,4] \end{align*}$

3) $\begin{align*} B = \{ -4,-1,0,1,4 \} \end{align*}$

Wenn du die Aufgabe nicht lösen kannst, mußt du dich zunächst darum kümmern, wie das Urbild $\begin{align*} f^{-1}(B) \end{align*}$ einer Menge $\begin{align*} B \end{align*}$ allgemein definiert ist. Schau in deinen Unterlagen nach. Frage bei Unklarheiten konkret hier nach.

27.10.2015, 21:40

Fabi1996

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Hi,

Also das Urbild f^(-1)(B) einer Menge B ist laut meiner Unterlagen so definiert:
f^(-1)(B)={x E X / f(x) E B} stimmt das so?

Also für 1 wäre dann die Lösung: [-2, 2]
für 2 dann: Garkeine Lösung, wegen der -1 (Gibt ja kein x für dass dieMenge Y den Wert -1 annimmt.?
und 3 dann genauso, weil es ja kein x gibt, für das y = -4 herauskommt.

Verstehe jedoch nicht ganz, wie die Definition mir weiterhilft die Aufgabe zu lösen, stelle mich wohl irgendwo richtig dumm an.

27.10.2015, 21:44

Leopold

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1) hast du richtig beantwortet, 2) und 3) jedoch nicht. Du hast dich schlicht nicht an die von dir selbst gegebene Definition gehalten. Tu genau das, was in der Definition steht, und nicht etwas, wo dein Gefühl dir sagt, wie es wohl zu sein hätte. Es ist nämlich nicht so ...

27.10.2015, 21:52

Fabi1996

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Das verstehe ich aber jetzt nicht.
Um das Urbild zu finden setze ich ja die Werte des Intervalls ein, und lös dann nach x auf. Wäre ja im Falle von Aufgabe 2 dann zunächst -1.
Setze ich das dann ein, so sieht die Gleichung ja so aus: -1=x^2
x^2, kann doch aber nicht negativ sein sein.

Wobei ich glaube, verstanden zu haben, dass ein Y = {-2} existiert, da Y ja [-4, unendlich) ist.
-1 ist ja auch definitiv ein Element von X, aber in dem Fall wäre doch f(x) kein Element von B, da x^2 ja kein Element von -1 ist.

PS: Übrigens Danke für die Mühe die du dir bis jetzt für mich gemacht hast.

27.10.2015, 22:10

Leopold

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Ich nehme einmal

3) $\begin{align*} B = \{ -4,-1,0,1,4 \} \end{align*}$

Bei $\begin{align*} f^{-1}(B) \end{align*}$ sind nun alle $\begin{align*} x \in X \end{align*}$ , hier also alle $\begin{align*} x \in \mathbb{R} \end{align*}$ gesucht, deren Bilder in $\begin{align*} B \end{align*}$ liegen.

$\begin{align*} f^{-1}(B) = \{ 0,1,-1,2,-2 \} \end{align*}$

Probe:

$\begin{align*} f(0) = 0 \in B \, , \ \ f(1) = 1 \in B \, , \ \ f(-1) = 1 \in B \, , \ \ f(2) = 4 \in B \, , \ \ f(-2) = 4 \in B \end{align*}$

Und daß von keinem weiteren $\begin{align*} x \end{align*}$ das Bild in $\begin{align*} B \end{align*}$ liegt, sollte klar sein.
Wie du siehst, spielen die $\begin{align*} -4 \end{align*}$ und $\begin{align*} -1 \end{align*}$ für die Berechnung des Urbildes überhaupt keine Rolle. Ich habe sie nur zur Verwirrung in $\begin{align*} B \end{align*}$ eingebaut. Ich hätte dich genauso mit $\begin{align*} -2015 \end{align*}$ und $\begin{align*} - \sqrt{2} \end{align*}$ verwirren können.

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27.10.2015, 22:22

Fabi1996

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Wäre dann also die Antwort zu Nummer 2: [-2, 2]?

27.10.2015, 22:29

Leopold

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Ja, so ist es.

Jetzt berechne in allen drei Fällen $\begin{align*} f \left( f^{-1}(B) \right) \end{align*}$ . Ergibt sich immer $\begin{align*} B \end{align*}$ ?

27.10.2015, 22:39

Fabi1996

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Da ist mein nächstes Problem, wie rechne ist das denn?
Ich meine die Lösung sind ja Intervalle, welche ich dann in f(x) einsetzen müsste.
Wenn ich z.B die Lösung von 1 einsetze also f(2) und f(-2) käme ja nur die Menge {4} heraus, ergo nicht B oder?

Glaube aber woraus du hinauswillst, da f(f^-1(B)) nicht die negativen Zahlen ausgibt, und somit die erste Aussage widerlegt, richtig?

27.10.2015, 23:10

Leopold

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Für irgendeine Teilmenge $\begin{align*} A \end{align*}$ von $\begin{align*} X \end{align*}$ bedeutet $\begin{align*} f(A) \end{align*}$ die Menge aller Bilder der Elemente von $\begin{align*} A \end{align*}$ .

In unserem Beispiel nehmen wir $\begin{align*} A = [-1,2] \end{align*}$ . Dann ist $\begin{align*} f(A) = [0,4] \end{align*}$ . Denn wenn du eine Zahl zwischen $\begin{align*} -1 \end{align*}$ und $\begin{align*} 2 \end{align*}$ quadrierst, erhältst du eine Zahl zwischen $\begin{align*} 0 \end{align*}$ und $\begin{align*} 4 \end{align*}$ .

Und jetzt ist in den Fällen 1),2),3) das in $\begin{align*} f \end{align*}$ einzusetzende $\begin{align*} A \end{align*}$ gerade das $\begin{align*} f^{-1}(B) \end{align*}$ .
Um es vorwegzunehmen: es ergibt sich nicht immer $\begin{align*} B \end{align*}$ als Ergebnis der Rechnung. Überlege dir, was daran schuld ist. Welche Eigenschaft müßte eine Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ besitzen, damit das Unglück nicht eintreten kann?

27.10.2015, 23:20

Fabi1996

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Verstädnisfrage: Wenn ich dann f([-1,4]) ausrechne wäre das Ergebnis dann [0,16]?
und [0,16] ist ja definitiv nicht B da B = [-1,4] ist.

Also die Minusbereiche werden nicht getroffen, weil die Funktion nicht surjektiv ist.

27.10.2015, 23:30

Leopold

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Zitat:

Original von Fabi1996
Die Funktion müsste also subjektiv sein, damit dieser Beweis stimmt oder?

Der Begriff heißt anders. Er kommt vom französischen sur (auf). Die Funktion wirft sich sozusagen auf den gesamten Zielbereich und läßt kein Ziel aus.

Bei der Funktion

$\begin{align*} f: \, \mathbb{R} \to [0,\infty) \, , \ \ x \mapsto x^2 \end{align*}$

hast du die Problematik nicht mehr.

Zitat:

Original von Fabi1996
Verstädnisfrage: Wenn ich dann f([-1,4]) ausrechne wäre das Ergebnis dann [0,16]?

Ja.

27.10.2015, 23:32

Fabi1996

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Aber gleichzeitig würde , selbst wenn die Funktion surjektiv wäre, die Aussage ja immer noch nicht richtig sein wegen der 16 in dem Intervall..

Edit: Ich bin dumm, hat sich erledigt.

Großes DANKE an dich, du hast mir meinen Unitag gerettet!

27.10.2015, 23:39

Leopold

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Die Aussage $\begin{align*} f \left( f^{-1}(B) \right) = B \end{align*}$ ist bei Surjektivität von $\begin{align*} f \end{align*}$ immer wahr.

Verwechsle das nicht mit $\begin{align*} f^{-1} \left( f(A) \right) = A \end{align*}$ . Damit dieses immer richtig ist, muß $\begin{align*} f \end{align*}$ eine andere Eigenschaft besitzen.

27.10.2015, 23:40

Fabi1996

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Ja, habe es jetzt endlich verstanden, damit die zweite Aussage ist, muss f injektiv sein.

27.10.2015, 23:43

Leopold

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So ist es.

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