Untergruppe - Linksnebenklassen - Abbildungen - Homomorphismus

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YouMakeMeCrazy Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppe - Linksnebenklassen - Abbildungen - Homomorphismus
Meine Frage:
Ich sitze an einer meiner Übungsserien und bin total überfordert, wie ich das ganze angehen kann/muss.
Ich habe nun bereits das Internet durchforstet, jedoch nichts gefunden, was mir hilft.
Daher hoffe ich es kann mir einer von euch helfen.

Die Aufgabe lautet:
(a) Sei H Untergruppe von G und X = (G: H) . Für g Element G, sei p_g die
Permutation xH -> gxH. Zeigen Sie:
(i) p_g1g2 = p_g1 p_g2
für alle g1, g2 Element G;
(ii) O: g -> p_g ist ein Homomorphismus G -> (Summenzeichen)X;
(iii) ker(O) ist Untergruppe von H.
(b) Sei H eine Untergruppe von G mit Index n. Beweisen Sie, dass G
einen Normalteiler K hat, mit K Untergruppe von H und G/K <= n!.

Meine Ideen:
Ich habe ebreits Aufgabe a) iii) lösen können bzw den Beweis führen, in dem ich gezeigt habe, dass der Kern ein Normalteiler ist und somit dann eine Untergruppe von H.

Bei den anderen Teilaufgaben bin ich einfach überfordert und weiß nicht wie ich ran gehen soll.

Hoffe mir kann jemand von euch helfen. smile
Automizer Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo YouMakeMeCrazy,

zu a)I

Du musst zeigen, dass für die Abbildung definiert durch gilt, dass



gilt. Du musst zeigen, dass zwei Abbildungen (Permutationen) gleich sind. Das machst du, indem Sie für alle Argumente das selbe Bild liefern.

II) Zeige, dass die Abbildung definiert durch , wobei definiert ist wie oben, einen Homomorphismus definiert. Zeige also

Das machst du, indem du .

b) Erster Isomorphiesatz
YouMakeMeCrazy Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphisätze
Vielen Dank für deine Antwort! smile
Mit den Hinweisen habe ich die Beweise der a komplett hinbekommen!

Was deinen Hinweis für Teil b betrifft, so komme ich mit dem nicht wieter bzw weiß nicht wie mir dieser helfen soll.
Ich habe mir jetzt noch mal den Isomorphisatz rausgesucht und habe da eine Übersicht von der TU Dortmund gefunden.


Wir hatten es bisher in keiner Vorlesung behandelt, daher habe ich mir online den Satz raus gesucht smile
Automizer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das klingt doch sschonmal ganz gut.

Der erste Isomorphiesatz oder auch Allgemeiner Homomorphiesatz für Gruppen besagt, dass, wenn du einen Homomorphismus hast, dann gilt . Sofern ihr diesen Satz noch nicht zu Verfügung habt, dann beweiß ihn einfach und schau dir anschließend an, was in deinem Fall ist.

Für den Beweis, was auch eine gute Übung ist, musst du nur zeigen, dass die Abbildung definiert durch eine Isomorphismus ist.
YouMakeMeCrazy Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort! smile
Kurze Frage noch ehe ich starte: Diese = mit der ~ drüber bedeutet isomorph, oder?

Und was ist mit G/ker gemeint. Also mir ist klar das ker der Kern ist, aber ich meine was "/" zwischen zwei Gruppen bedeutet?
Automizer Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau. bedeutet isomorph. Es besteht also ein Isomorphismus zwischen den beiden Gruppen (haben also beide die selbe Struktur)
Des Weiteren ist

.

Es ist also die Menge aller Nebenklassen von dem Normalteiler . Darüber hinaus bildet diese Menge mit der Verknüpfung eine Gruppe, genannt die Faktorgruppe nach (oder modulo) .
In diesem Fall ist . Man verwendet aber den / um auszudrücken, dass es sich um die Faktorgruppe handelt.

Im Übrigen kannst du mal als Übung nachweisen, dass die Menge aller Nebenklassen zu einer Untergruppe genau dann eine Faktorgruppe bezüglich dieser Verknüpfung bildet, wenn diese Untergruppe normal ist.
 
 
YouMakeMeCrazy Auf diesen Beitrag antworten »

Zwei Mitkommilitonen und ich habe uns eine Tafel geschnappt und wir haben da nun 1h versucht etwas hinzubekommen.

Zuallererst haben wir natürlich die Definitionen wiederholt.

Wir haben nun die Aufgabe für uns "Übersetzt":
Also wir haben eine Untergruppe H von G und den Index n. Der Index n sagt uns: n = (G:H)
also die Anzahl der LNK von H in G.

Da H eine Untergruppe von G ist, kann man nach Lagrange schließen, dass die Ordnung von H die Ordnung von G teilt.

Und nun haben wir es so verstanden, dass wir zeigen sollen, dass K Normalteiler von G ist und daraus folgt das K Untergruppe von H ist und G/K <= n!

Und dieses G/K ist die Quotientengruppe, über die wir wissen das es die Menge aller LNK gk von K in G ist.

Mehr wissen wir durch Skript, Vorlesung und Übung momentan nicht.
Wie könnte man damit nun an die Aufgabe ran gehen?
Automizer Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist jetzt oder bei euch der Index. Das ist nämlich ne Frage der Bezeichnung die einen machen das so und die anderen so. Dann ist es nämlich Blödsinn, was ich geschrieben habe. Es gilt natürlich , da das eine ne Gruppe und das andere nur die Ordnung dieser Gruppe ist.

OK, du hast einen Homomorphismus , wie du im ersten Teil der Aufgabe gezeigt hast. Es gilt . Das Bild ist eine Unterguppe von und isomorph zu . Also Langrange und fertig.

PS nicht verzweifeln. Du wirst dir noch länger als nur eine Stunde mit deinen Kommiltonen den Kopf über ein konkretes Problem zerbrechen.
YouMakeMeCrazy Auf diesen Beitrag antworten »

Habe jetzt noch mal das Skript gewälzt und gesucht.

Also der Professor sagt, dass |G:H| = anzahl der LNK auch Index von H ist
(G:H) hat er leider nicht gesagt, was damit gemeint ist, er nutzt es jedoch im Skript zum Beispiel bei einer Gruppenwirkung.

Das Skript von ihm ist leider sehr wirr und durcheinander, er hat keine richtige Struktur, daher haben wir uns dann gestern Internetseiten und Bücher zu Rate gezogen und da wurde der Index als (G:H) verwendet.


Das mit den Kopf zerbrechen haben wir bei den Übungsserien schon gemerkt, das ist der ausschlaggebende Grund das mehr als die Hälfte der Studenten mit denen wir gestartet sind bereits aufgehört haben.
Wir haben immer noch die Hoffnung, dass es irgendwann besser wird bzw man sich dran gewöhnt Big Laugh
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