Constraint Qualification [Nichtlineare Optimierung]

27.10.2015, 21:47	Johii	Auf diesen Beitrag antworten »
Constraint Qualification [Nichtlineare Optimierung] Meine Frage: Hallo, ich habe folgende beide Mengen: $\begin{eqnarray} D(\bar{x}) = \{ d \| \exists \delta > 0 \text{ mit } \bar{x} + \lambda d \text{ zulässig für alle } \lambda \in (0, \delta), d \neq 0\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A(\bar{x}) := \{ d \| \exists \delta > 0, \exists \alpha : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n \text{ stetig, } \alpha(\xi) \in S \text{ für } \xi \in (0, \delta), \alpha (0) = \bar{x} \text{ und } \lim_{\xi \to 0^+} \frac{\alpha(\xi) - \alpha (0)}{\xi} = d \} \end{eqnarray}$ . Hierbei ist $\begin{eqnarray} \bar{x} \end{eqnarray}$ ein zulässiger Punkt eines beliebigen Minimierungsproblems und $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ der Zulässigkeitsbereich Nun soll ich beweisen, es gilt $\begin{eqnarray} D(\bar{x}) \subseteq A(\bar{x}) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Seien $\begin{eqnarray} d \in D(\bar{x}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \xi_k \to 0^+ \end{eqnarray}$ eine beliebige Folge mit $\begin{eqnarray} \xi_k \in (0, \delta) \end{eqnarray}$ für alle k. Somit können wir eine Folge $\begin{eqnarray} x_k(\xi_k) := \bar{x} + \xi_k d \to \bar{x} \text{ für } k \to \infty \end{eqnarray}$ definieren. Setze $\begin{eqnarray} x_k(\xi_k) = \alpha(\xi_k) \end{eqnarray}$ mit offensichtlich $\begin{eqnarray} \alpha(0) = \bar{x} \end{eqnarray}$ , so erhalten wir $\begin{eqnarray} \alpha(\xi_k) = \alpha(0) + \xi_k d \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow d = \frac{\alpha(\xi_k) - \alpha(0)}{\xi_k} \end{eqnarray}$ . Mein Problem ist nun, dass der Limes nicht enthalten ist. Vielen Dank für ihre Hilfe.
27.10.2015, 23:43	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Constraint Qualification [Nichtlineare Optimierung] Dann schreib ihn doch dazu Du hast eine konstante Folge
28.10.2015, 10:45	Johi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort. Aber kann ich für $\begin{eqnarray} d \in D(\bar{x}) \end{eqnarray}$ nicht für jedes $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ einen Vektor $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ definieren, aber nur für den Grenzwert gilt $\begin{eqnarray} d \in A(\bar{x}) \end{eqnarray}$ ? Meine Vermutung ist, dass die Vektoren eventuell linear abhängig sind und ich mit dem durch den Grenzwert erzeugten Vektor alle Vektoren für jedes $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ "erzeugen" kann. Also sozusagen $\begin{eqnarray} d_k = \lambda d \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda > 0, d_k = \frac{\alpha(\xi_k) - \alpha(0)}{\xi_k} \end{eqnarray}$ für ein beliebiges, festes $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ .
28.10.2015, 23:44	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Also richtig schlau werde ich aus deinen Ausführungen nicht. Sprich ich sehe dein Problem nicht Du startest mit $\begin{eqnarray} d\in D(\bar{x}) \end{eqnarray}$ . Dazu gibt es ein gewisses $\begin{eqnarray} \delta >0 \end{eqnarray}$ so dass alle $\begin{eqnarray} \bar{x}+\lambda d \in S \end{eqnarray}$ . Jetzt musst du eine stetige Funktion $\begin{eqnarray} \alpha:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ mit gewissen Eigenschaften angeben. Mit $\begin{eqnarray} \alpha(\xi)=\bar{x}+\xi d \end{eqnarray}$ bist du im Grunde schon fertig. Natürlich kannst du nicht davon aus gehen, dass jeder Vektor $\begin{eqnarray} \alpha(\xi)\in S \end{eqnarray}$ ist. Aber für $\begin{eqnarray} \xi\in(0,\delta) \end{eqnarray}$ ist das erfüllt (warum?) Den geforderten Grenzwert braucht man nur hinzuschreiben. Was du da für jedes k erzeugen willst und wozu die k überhaupt gut sein sollen erschließt sich mir nicht
30.10.2015, 12:22	Johi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab's nun verstanden. Vielen Dank!

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