Ordnungsrelation |
| 28.10.2015, 11:08 | te one | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Ordnungsrelation aufgrund der einfachen Darstellung verzichte ich mal auf Latex. Ich soll die Menge M { 1/i + 1/j | i,j element N) } auf minimale/maximale Elemente und Minima/Maxima untersuchen. Noch etwas schwer verständlich für mich: Hierbei soll ich die in natürlicher Weise gegebene Totalordnung der rationalen Zahlen zugrunde legen. Gibt für mich: maximales Element + Maximum: 2 minimales Element + Minimum: gibt es nicht, denn es gilt immer 1/i + 1/j >= 1/(i+1) + 1/j Ist das korrekt? Kann ich durch den Zusatz mit der Totalordnung aller rationaler Zahlen also darauf schließen, dass ich alle Zahlen miteinander vergleichen (<=) kann? |
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| 28.10.2015, 12:07 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Passt fast. Es wäre besser, wenn Du beweisen könntest, dass 2 das Maximum von M ist. Im Beweis, dass kein Minimum in M existiert, musst Du > statt >= schreiben. >= reicht nicht, die Folge könnte sonst stationär werden (rein theoretisch, hier nicht, weil > gilt). Der Hinweis auf die Ordnung in steht nur in der Aufgabe, damit man weiß, welche Ordnung für M zu benutzen ist. Klar ist dann totalgeordnet. |
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| 28.10.2015, 16:48 | te one | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank 
Diese Hinweise welche Ordnung gilt machen verrückt 
Erst Mengeninklusion, dann durch relierende Elemente einer Halbordnung und jetzt ganz simpel, wie man Zahlen eben kennt (<) 
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| 28.10.2015, 18:18 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dass es viele Ordnungsrelationen mit interessanten Eigenschaften auf interessanten Mengen, Räumen und Strukturen gibt, ist kein Problem. Das ist gut so, denn nur dadurch beginnt die Mathematik interessant zu werden. Ordnung kommt in die so entstehende Unübersichtlichkeit dadurch, dass allen Ordnungsrelationen die drei definierenden Eigenschaften reflexiv, transitiv und antisymmetrisch zukommen. Genauso interessant sind die Äquivalenzrelationen (reflexiv, transitiv, symmetrisch), die Mengen in Äquivalenzklassen zerlegen. Darüber hinaus gibt es die Kongruenzrelationen, das sind strukturverträgliche Äquivalenzrelationen. Wie sollte man mathematische Strukturen, Räume und Objekte verstehen, wenn es keine sinnvollen Relationen und insbesondere Funktionen (Operationen, Transformationen, Abbildungen, ...) gäbe ? Was wären Kategorien ohne Morphismen und Funktoren ? Tipp: Fange langsam an, bleibe locker und lerne soviel Du kannst.
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| 28.10.2015, 18:34 | te one | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich bin mir sicher, ich werde den Spaß an all der Vielfalt auch noch finden, wenn die Basics erstmal sitzen 
Nun ist noch ein weiteres Problem aufgetreten das zum Thema passt: 1. Zeige: rationale Zahlen sind in ihrer natürlichen Anordnung nicht wohlgeordnet Meine Meinung: Wohlgeordnet bedeutet es gibt für jede Teilmenge ein Minimum. Jedes Element von Q lässt sich als p/q (p element Z und q element N) beschreiben. Nun hat die Teilmenge T {x element Q | x<0} kein Minimum, da sich immer ein p/q+1 finden lässt, dass kleiner ist. Problem: Ich hab im Netz gelesen, dass N ein Maximum hat. Also kann ich mit unendlich großem q+1 schlecht argumentieren... Muss ich also p element Z unendlich klein werden lassen? Das wäre aus meiner Sicht aber wesentlich schwerer zu beweisen... 2. Beweise, dass wohlgeordnete Mengen immer auch total geordnet sind Meine Meinung: Damit es in allen möglichen Teilmengen T einer wohlgeordneten Menge M ein Minimum (was gemäß Def. einer wohlgeordneten Menge der Fall ist) gibt, müssen beliebige a,b element M miteinander vergleichbar (a<=b oder b<=a) sein. Dadurch dass alle Elemente a,b aus M relieren, handelt es sich um eine Totalordnung. Davon bin ich recht überzeugt
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| 28.10.2015, 18:41 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt mußte ich doch schmunzeln
, da deine Begeisterung überzulaufen beginnt. Der arme te one irrt durch das Gestrüpp der Ordnungen und sucht händeringend einen Ast, an dem er sich festhalten kann. Und du reichst ihm einen Morphismus, der so glitschig ist, daß jeder, der es nicht weiß, erbarmungslos an ihm abgleitet, stürzt und dabei noch von einem Funktor erschlagen wird. Armer te one ... 
(Ich bitte, diese Bemerkung humorvoll aufzufassen. 
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| 28.10.2015, 18:46 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Leopold Mach ich. Genau so humorvoll war meine letzte Bemerkung über Kategorien auch gemeint. 
@te one Es wäre mir lieber, wenn Du die Frage zu Wohlordnungen in einem eigenen Thread aufmachst. Darauf können Berufenere als ich eventuell schneller und besser antworten. |
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| 28.10.2015, 19:05 | te one | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Leopold konnte mich wohl die ganze Zeit hier beobachten, so genau wie er meine Situation beschreiben kann
Da Elvis wohl auch im Dickicht der verasteten Mathematik unterwegs ist und Funktoren fürs Abendessen fängt, habe ich einen neuen Thread eröffnet: Wohlordnung und Totalordnung Soweit vielen Dank
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