Wohlordnung und Totalordnung

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te one Auf diesen Beitrag antworten »
Wohlordnung und Totalordnung
Guten Abend,
ich bin mir bei zwei Fragen etwas unsicher:

1. Zeige: rationale Zahlen sind in ihrer natürlichen Anordnung nicht wohlgeordnet
Meine Meinung: Wohlgeordnet bedeutet es gibt für jede Teilmenge ein Minimum. Jedes Element von Q lässt sich als p/q (p element Z und q element N) beschreiben. Nun hat die Teilmenge T {x element Q | x<0} kein Minimum, da sich immer ein p/q+1 finden lässt, dass kleiner ist.
Problem: Ich hab im Netz gelesen, dass N ein Maximum hat. Also kann ich mit unendlich großem q+1 schlecht argumentieren... Muss ich also p element Z unendlich klein werden lassen? Das wäre aus meiner Sicht aber wesentlich schwerer zu beweisen...

2. Beweise, dass wohlgeordnete Mengen immer auch total geordnet sind
Meine Meinung: Damit es in allen möglichen Teilmengen T einer wohlgeordneten Menge M ein Minimum (was gemäß Def. einer wohlgeordneten Menge der Fall ist) gibt, müssen beliebige a,b element M miteinander vergleichbar (a<=b oder b<=a) sein. Dadurch dass alle Elemente a,b aus M relieren, handelt es sich um eine Totalordnung.
Davon bin ich recht überzeugt smile

Bereits vielen Dank.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

deine Idee zu 1 ist eigentlich gut. Ich sehe nicht so ganz, wo das Problem liegt. Warum muss unendlich groß sein? Nimm an, es gäbe ein Minimum dieser Menge, dann hat es die Form p/q für natürliche Zahlen p,q und q>0. Zeige jetzt, wie du vorhattest, dass dann aber p/(q+1) noch kleiner ist und auch in der Menge liegt. Wie gesagt, ich sehe nicht das Problem.
Alternativ kannst du natürlich auch einfach als Teilmenge nehmen.

Zu 2: Die Definition von Wohlordnung, die ich kenne, setzt Totalordnung bereits voraus, hier wäre also nichts zu zeigen. Um dir helfen zu können, müsstes ich eure Definition kennen, kannst du die mal aufschreiben?
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