Darstellungstheorie, Charaktere bei Skalareinschränkung

28.10.2015, 21:29	palpam	Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellungstheorie, Charaktere bei Skalareinschränkung Hallo, bin hier über eine Aussage in Serre's "linear representations of finite groups" (S.92) gestoßen die mir ziemliches Kopfzerbrechen bereitet: Sei L/K eine endliche Kp.Erw (L hat zudem die Eigenschaft, dass jeder Charakter von G über $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ bereits in L definiert ist), $\begin{eqnarray} [ L : K ]=d \end{eqnarray}$ . Sei V eine lineare Darstellung von G über L mit Charakter $\begin{eqnarray} \chi \end{eqnarray}$ . Durch Skalareinschränkung ("restricting scalars") können wir V als K-VR (von d-mal höherer Dimension) und auch als lineare Darstellung von G über K auffassen. Man sieht sofort (!!!), dass der Charakter dieser Darstellung durch $\begin{eqnarray} Tr_{L/K}(\chi) \end{eqnarray}$ gegeben ist Sooo... Mir ist klar, dass L ein K-VR ist und wir damit auch V als K-VR auffassen können, indem wir einfach jedes Element aus L als K-Linearkombination schreiben. Dass dieser VR dann d-mal größer ist, sollte intuitiv stimmen. "Restriction of Scalars" folgend wie er in Wikipedia definiert ist, trifft auch zu indem wir $\begin{eqnarray} f=id: K \rightarrow L \end{eqnarray}$ setzen. Damit ist dann $\begin{eqnarray} k v=f(k)v \;\;\;\; k \in K, v \in V \end{eqnarray}$ und wir haben eine Verknüpfung von R mit V (allerdings ist dann V doch nicht von d-mal so großer Dimension?). Bringt mir das irgendwas? Irgendwie verwirrt mich der Begriff der Skalareinschränkung mehr als er hilft. Ich seh einfach keinen Zusammenhang zu $\begin{eqnarray} Tr_{L/K}(\chi) \end{eqnarray}$ (mir ist klar, dass diese Spur K-linear und additiv ist, sowie von L nach K abbildet und ein Charakter die Spur der Abbildungsmatrix einer Darstellung ist) Es wäre wirklich toll wenn mir da jemand sinnvollen Input geben könnte, danke Patrick
28.10.2015, 23:28	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Die folgenden 4 Punkte sollten alles enthalten, was du brauchst. 1) Die Galoisgruppe $\begin{eqnarray} \mathrm{Gal}(L/K) \end{eqnarray}$ operiert auf den über $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ definierten Darstellungen von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ durch eintragsweises Anwenden auf die Darstellungsmatrizen und somit auch auf den Charakteren. 2) Der Charakter einer über $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ realisierten Darstellung nimmt Werte in $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ an und ist somit fix unter der Galoisgruppe. 3) Ist $\begin{eqnarray} \chi \end{eqnarray}$ der Charakter einer Darstellung über $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ mit irreduziblem Konstituenten $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} \sigma(\phi) \end{eqnarray}$ ebenfalls Konstituent von $\begin{eqnarray} \chi \end{eqnarray}$ mit gleicher Vielfachheit. 4) Für $\begin{eqnarray} x\in L \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \mathrm{Tr}_{L/K}(x)=\sum_{\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)} \sigma(x) \end{eqnarray}$ . Eine Feinheit an dieser Sache ist, dass man auch dann die Spur bilden muss, wenn der Charakter der Darstellung über $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ bereits Werte in $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ hat. Dies wird beispielsweise an der absolut irreduziblen Darstellung vom Grad 2 der Quaternionengruppe $\begin{eqnarray} Q_8 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} L=\mathbb{Q}(i) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} K=\mathbb{Q} \end{eqnarray}$ deutlich.
29.10.2015, 12:06	palpam	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort! 1), 2), 4) waren mir klar. 3) ist mir neu, gibt es eine einfache Möglichkeit dies einzusehen? Ich seh aber noch nicht wie mich das weiter bringt. Mir fehlt der Schritt "ist $\begin{eqnarray} \chi \end{eqnarray}$ der Charakter der Darstellungen von $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ , dann ist ... der Charakter der Darstellungen von $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ", also der Zusammenhang beider Charaktere. Evtl ist es ein einfacher Zusammenhang zwischen den beiden Vektorräumen, evtl hab ich auch nur ein riesengroßes Brett vor dem Kopf.
29.10.2015, 16:04	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ad 3) Sei $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ein Konstituent von $\begin{eqnarray} \chi \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} (\chi,\phi)=:\alpha \in \mathbb{Z}_{> 0} \end{eqnarray}$ (Skalarprodukt von Charakteren). Dann: $\begin{eqnarray} (\chi,\sigma(\phi))=\frac{1}{\|G\|}\sum_{g\in G} \underbrace{\chi(g)}_{\in K} \sigma(\phi(g^{-1})) = \frac{1}{\|G\|}\sum_{g\in G} \sigma(\chi(g))\sigma(\phi(g^{-1})) = \alpha \end{eqnarray}$ So, nun sei wie bei dir $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ eine lineare Darstellung von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ mit Charakter $\begin{eqnarray} \chi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V_K \end{eqnarray}$ die Darstellung über $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ , die durch Restriktion der Skalare entsteht - der Charakter heiße $\begin{eqnarray} \chi_K \end{eqnarray}$ . Nun liefert der Gruppenhomomorphismus $\begin{eqnarray} G\to\mathrm{GL}(V_K) \end{eqnarray}$ , der zu $\begin{eqnarray} V_K \end{eqnarray}$ assoziiert ist, wegen $\begin{eqnarray} K\subseteq L \end{eqnarray}$ auch wieder eine $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ -Darstellung (mit Charakter $\begin{eqnarray} \chi_K \end{eqnarray}$ ), die $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ als Konstituenten enthält. Also ist $\begin{eqnarray} \chi \end{eqnarray}$ ein Konstituent von $\begin{eqnarray} \chi_K \end{eqnarray}$ und somit mit den obigen Argumenten auch jedes Galois-konjugierte von $\begin{eqnarray} \chi \end{eqnarray}$ . Aus Dimensionsgründen (bzw. bei Charakteren Gradgründe) ist das dann schon der gesamte Charakter.

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