Beweis: Vereinigung aller Teilmengen der Natürlichen Zahlen gleich die Potenzmenge der nat. Zahlen

28.10.2015, 21:37

Seb9

Beweis: Vereinigung aller Teilmengen der Natürlichen Zahlen gleich die Potenzmenge der nat. Zahlen

Meine Frage:
Wir kennen folgende Formel für Binominalkoeffizienten: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k \in \mathbb N } \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = 2^n \end{eqnarray*}$
Gilt analog auch folgendes: $\begin{eqnarray*} \bigcup_{k \in \mathbb N } \begin{pmatrix} \mathbb N \\ k \end{pmatrix} = 2^{\mathbb N } \end{eqnarray*}$
Beweisen Sie Ihre Antwort.

Dabei sei $\begin{eqnarray*} 2^{\mathbb N } \end{eqnarray*}$ die Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \mathbb N \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ definiert als $\begin{eqnarray*} \{ X \subseteq \mathbb N | |X|=k \} \end{eqnarray*}$
Null ist Element der nat. Zahlen.

Meine Ideen:
Ich dachte mir wäre klar, dass die Vereinigung aller Teilmengen der nat. Zahlen mit der Mächtigkeit k das selbe ist wie die Menge aller Teilmengen der nat. Zahlen. Denn k nimmt irgendwann jede Zahl aus den Natürlichen Zahlen an und somit vereinigen wir tatsächlich jede Teilmenge. Sogar die leere Menge ist dabei.
Ich muss die Krux der Aufgabe übersehen. Denn ich verstehe nicht was es da zu Beweisen gäbe. Höchstens argumentieren (wie oben) kann ich es.

28.10.2015, 23:15

HAL 9000

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In $\begin{align*} \bigcup_{k \in \mathbb N} \binom{\mathbb N}{k} \end{align*}$ fehlen sämtliche unendlichen Teilmengen von $\begin{align*} \mathbb N \end{align*}$ , z.B. $\begin{align*} \mathbb N \end{align*}$ selbst. unglücklich

29.10.2015, 01:18

Seb9

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Weil das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ die Kardinalität der Teilmengen auf konkrete endliche Zahlen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ beschränkt?

Sei $\begin{eqnarray*} M_k \end{eqnarray*}$ die Teilmenge der Mächtigkeit $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Jede Menge $\begin{eqnarray*} M_k \end{eqnarray*}$ ist endlich, denn es gibt jeweils ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \{1,2,...n\} \to M_k \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} n=k \end{eqnarray*}$ . Somit fehlen alle unendliche Teilmengen, welche aber in der Potenzmenge enthalten sind.

Ist das ein korrekter Beweis?

29.10.2015, 07:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von Seb9
Weil das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ die Kardinalität der Teilmengen auf konkrete endliche Zahlen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ beschränkt?

Ja.

Zitat:

Original von Seb9
Sei $\begin{eqnarray*} M_k \end{eqnarray*}$ die Teilmenge der Mächtigkeit $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

Teilmenge wovon? Und wieso die? So beginnend ist unverständlich, was du sagen willst. unglücklich

29.10.2015, 10:49

Seb9

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Zitat:

Original von Seb9
~~Sei $\begin{eqnarray*} M_k \end{eqnarray*}$ Teilmenge der Mächtigkeit $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .~~

Sei $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \mathbb N \\ k \end{pmatrix} := \{ M_k \subseteq \mathbb N | |M_k|=k \} \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} M_k \in \begin{pmatrix} \mathbb N \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Also bezeichnet $\begin{eqnarray*} M_k \end{eqnarray*}$ jene Teilmengen aus $\begin{eqnarray*} \bigcup_{k \in \mathbb N } \begin{pmatrix} \mathbb N \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |M_k|=k \end{eqnarray*}$ .

Ist so klar, was ich mir unter $\begin{eqnarray*} M_k \end{eqnarray*}$ vorstelle?

29.10.2015, 10:52

Seb9

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Verzeihung ich meine:

Zitat:

Original von Seb9
Also bezeichnet $\begin{eqnarray*} M_k \end{eqnarray*}$ jene ~~Teilmengen~~ Elemente aus $\begin{eqnarray*} \bigcup_{k \in \mathbb N } \begin{pmatrix} \mathbb N \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |M_k|=k \end{eqnarray*}$ .

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