Berechnung der Darstellungsmatrix mit verschiednen Basen

28.10.2015, 22:27

mathebanause

Berechnung der Darstellungsmatrix mit verschiednen Basen

Hallo zusammen, ich könnte ein wenig Unterstützung brauchen beim lösen folgender Aufgabe:

Betrachte die Basis $\begin{eqnarray*} [v] = [v^{(1)}, v^{(2)}, v^{(3)}] \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} v^{(1)} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} , v^{(2)}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} , v^{(3)} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und die Basis $\begin{eqnarray*} [w] = [w^{(1)}, w^{(2)}] \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} w^{(1)} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} , w^{(2)}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Berechne die Matrixdarstellung $\begin{eqnarray*} T_{[v]\mapsto[w]} \end{eqnarray*}$ von

i) $\begin{eqnarray*} T: \mathbb R^3 \mapsto \mathbb R^2, \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 2x_3 \\ x_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ii) $\begin{eqnarray*} T: \mathbb R^3 \mapsto \mathbb R^2, \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x_1 - x_2 \\ x_1 + x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich wäre sehr froh wenn mir da jemand weiterhelfen könnte, ich stehe wirklich auf dem Schlauch..

Vielen Dank schon mal und liebe Grüsse Wink

29.10.2015, 08:51

klarsoweit

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RE: Berechnung der Darstellungsmatrix mit verschiednen Basen
Bei dieser Aufgabe stellt sich raus, daß du das Thema eigentlich noch gar nicht richtig verstanden hast. Nun denn.

Für die Matrixdarstellung $\begin{eqnarray*} T_{[v]\mapsto[w]} \end{eqnarray*}$ mußt du erstmal für jeden Vektor der Basis [v] die Bilder $\begin{eqnarray*} T(v^{(i)}) \end{eqnarray*}$ bestimmen. Dann mußt du diese Bilder als Linearkombination bezüglich der Basis [w] darstellen. Anschließend trägst du die jeweiligen Koordinatenvektoren als Spalten in eine Matrix ein. Das ergibt dann die Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray*} T_{[v]\mapsto[w]} \end{eqnarray*}$ .

Frage am Rande: interessant ist die Nummerierung der Basisvektoren mit $\begin{eqnarray*} v^{(i)} \end{eqnarray*}$ statt einfach mit $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ . Ist das eine schweizerische Eigenart? smile

29.10.2015, 11:49

mathebanause

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Dass ich es überhaupt nicht verstanden habe scheint mir auch immer mehr so.. ich denke, dass ich mit deinen Anstössen jedoch weiterkommen werde!

Ob das eine Schweizer Eigenart ist kann ich nicht beurteilen, ich schreibe es einfach so wie mein Professor smile

Vielen dank Freude

29.10.2015, 12:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von mathebanause
ich denke, dass ich mit deinen Anstössen jedoch weiterkommen werde!

Wenn du deine Ergebnisse hier postest, schau ich gerne mal drüber.

29.10.2015, 13:23

Ehos

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Ich beschreibe mal das allgemeine Verfahren anhand der Aufgabe i)
------------------------------------------------------------------------------------
Bezüglich der Standardsbasis lautet deine Abbildung bei Aufgabe i)

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}}_{\text{Vektor }\vec y}=\underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}}_{\text{Matrix }T} \underbrace{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}_{\text{Vektor }\vec x} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$

In deiner Aufgabe i) sollst du die beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec y \end{eqnarray*}$ aber nicht bezüglich der Standardbasis darstellen, sondern bezüglich anderer Basen wie folgt

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\begin{pmatrix} x_3 \\ x_1 \\ x_3\end{pmatrix}}_{\text{Vektor }\vec x}=\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ -1& 1& 1 \end{pmatrix}}_{\text{Basis für } \vec x} \underbrace{\begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \\ x'_3 \end{pmatrix}}_{\text{neue Koordinaten}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}}_{\text{Vektor }\vec y}=\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}}_{\text{Basis für } \vec y} \underbrace{\begin{pmatrix} y'_1 \\ y'_2 \end{pmatrix}}_{\text{neue Koordinaten}} \end{eqnarray*}$

Setze die beiden letzten Gleichungen in die obige Abbildung ein. Das ergibt

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}}_{\text{Basis für } \vec y} \underbrace{\begin{pmatrix} y'_1 \\ y'_2 \end{pmatrix}}_{\text{neue Koordinaten}}=\underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}}_{\text{Matrix }T} \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ -1& 1& 1 \end{pmatrix}}_{\text{Basis für } \vec x} \underbrace{\begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \\ x'_3 \end{pmatrix}}_{\text{neue Koordinaten}} \end{eqnarray*}$

Auf diese Gleichung wendet man die inverse Matrix der Basis für $\begin{eqnarray*} \vec y \end{eqnarray*}$ an, also

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\begin{pmatrix} y'_1 \\ y'_2 \end{pmatrix}}_{\text{neue Koordinaten}}=\underbrace{\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}^{-1}}_{\text{inverse Basis für } \vec y}\underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}}_{\text{Matrix }T} \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ -1& 1& 1 \end{pmatrix}}_{\text{Basis für } \vec x}}_{\text{gesuchte neue Abbildungsmatrix } T'} \underbrace{\begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \\ x'_3 \end{pmatrix}}_{\text{neue Koordinaten}} \end{eqnarray*}$

Berechne das Matrixprodukt T' auf der rechten Seite. Das ist die neue Abbildungsmatrix bezügliuch der neuen Basen.

29.10.2015, 17:28

mathebanause

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Vielen Dank

also ist $\begin{eqnarray*} T_{[v]\mapsto[w]}=\begin{pmatrix} 0 & -4 & 0 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

stimmt das? und wie kann ich es überprüfen?

Beste Grüsse
mathebanause

30.10.2015, 08:51

Ehos

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Deine Darstellungsmatrix ist richtig.

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