Komplexe Zahlen

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29.10.2015, 00:26	rosa4ka	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen Meine Frage: Seien $\begin{eqnarray} z_{1} = x_{1} + iy_{1} = 3-2i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_{2} = x_{2} + iy_{2} = 1+4i \end{eqnarray}$ Bestimmen sie ihre Summe ihr Produkt, den Quotienten $\begin{eqnarray} \frac{z1}{z2} \end{eqnarray}$ und die Darstellung von z1 und z2 in Polarform Meine Ideen: Die Darstellung in Polarform habe ich versucht und im Anhang beigefügt. Wie bestimme ich aber die Summe , den Produkt und den Quotienten ?
29.10.2015, 01:42	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du machst - unnötige - Schlampigkeitsfehler! Bei z = 3 - 3i ist der Imaginärteil b = -2, nicht 2 ------------- Bei z = 1 + 4i ist der arctan (phi) NICHT 1/4, sondern 4 Die Frage nach der Summe meinst du aber nicht im Ernst (?) Beim Quotienten erweitere den Bruch mit (1 - 4i) (d. i. der konjugiert komplexe Nenner), dadurch wird der Nenner reell. In der Polarform benütze $\begin{eqnarray} \frac{z_1}{z_2} = \frac {r_1}{r_2} \cdot e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)} \end{eqnarray}$ Das Produkt kann - je nachdem - algebraisch ausgeführt werden oder in der Polarform wie bei der Division $\begin{eqnarray} z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \cdot e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)} \end{eqnarray}$ mY+
01.11.2015, 15:24	rosa4ka	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh danke, dann kommt da $\begin{eqnarray} r_{1} = \sqrt{5} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} phi_{2} = 75.96 \end{eqnarray}$ aus den Gegebenen werten habe ich nun Folgendes gemacht, $\begin{eqnarray} r_{1}=\sqrt{5},<br /> r_{2}=\sqrt{17}, <br /> pi_{1}=33.69 Grad, <br /> phi_{2}=75.96 Grad \end{eqnarray}$ Wenn ich die Formel anwende die du mir gegeben hast, $\begin{eqnarray} \frac{z_1}{z_2} = \frac {r_1}{r_2} \cdot e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)} \end{eqnarray}$ habe ich folgendes gerechnet. $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{15}{17} } \cdot e^{i(33.69-75.96)} \end{eqnarray}$ Bin aber hier stehen geblieben.. $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{15}{17} } \cdot e^{i(-42,27)} \end{eqnarray}$ Habe ich deine Tipp überhaupt richtig angewendet?
01.11.2015, 15:27	rosa4ka	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry es sollte so heißen : $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{5}{17} } \cdot e^{i(-42,27)} \end{eqnarray}$
02.11.2015, 20:38	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ ist nicht $\begin{eqnarray} \sqrt 5 \end{eqnarray}$ , sondern $\begin{eqnarray} \sqrt{13} \end{eqnarray}$ Ausserdem liegt z1 im 4.Quadranten (b = -2) und deswegen ist der Winkel -33,7° Wenn du nun das Resultat in der Polarform vorliegen hast, könntest du es wieder in die binomische Zahlpaarform zurückverwandeln. Oder rechne auch so: $\begin{eqnarray} \frac{3 - 2i}{1 + 4i} = \frac{(3-2i)(1-4i)}{17} = \frac{-5-14i}{17} = \ldots \end{eqnarray}$ mY+
04.11.2015, 20:11	rosa4ka	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{-5-14i}{17} \end{eqnarray}$ habe ich auf die Reihe gekriegt wie geht es jetzt weiter ? wie geht es jetzt weiter ? muss ich jetzt die Formel : $\begin{eqnarray} \frac{z_1}{z_2} = \frac {r_1}{r_2} \cdot e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)} \end{eqnarray}$ in Betracht nehmen und versuchen damit weiter zu rechnen ?
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04.11.2015, 21:17	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du noch immer dieselbe Aufgabe? Wenn ja, kannst du nun dieses Resultat in die Euler'sche Form (Exponential- oder Polarform) umwandeln. Dazu brauchst du den Betrag $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ und den Winkel $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ Beides bekommst du aus dem Realteil a und dem Imaginärteil b (wenn z, wie in dem Resultat, in der Form z = a + bi vorliegt) $\begin{eqnarray} r = \sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tan \varphi = \frac b a \end{eqnarray}$ --------------------------- Mittels des $\begin{eqnarray} \tan \end{eqnarray}$ kann nicht genau entschieden werden, in welchem Quadrant der Zeiger liegt (die Periodenlänge des Tangens ist $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ , d.h. sie erstreckt sich nur über 2 Quadranten). Der in Frage kommende Quadrant kann allerdings mittels der Vorzeichen von a und b zweifelsfrei festgestellt werden, bzw. auch mittels der Beziehungen $\begin{eqnarray} \sin \varphi = \frac b r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cos \varphi = \frac a r \end{eqnarray}$ Auch hier entscheiden die Vorzeichen von $\begin{eqnarray} \sin \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos \end{eqnarray}$ über die Lage des Quadranten. mY+
05.11.2015, 13:13	rosa4ka	Auf diesen Beitrag antworten »
So in etwa ? $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{13} }{\sqrt{17}} \cdot e^{(33.69 + 75.969)} \end{eqnarray}$
05.11.2015, 13:57	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei dem Betrag stimmt es, nicht aber bei den Winkeln. Erstens ist der Winkel von z1 negativ, weil der Zeiger im 4. Quadranten liegt, also -33,69° und zweitens werden bei der Division die Winkel subtrahiert .. mY+
12.11.2015, 14:04	rosa4ka	Auf diesen Beitrag antworten »
Asoo okay vielen dank !!
12.11.2015, 14:07	rosa4ka	Auf diesen Beitrag antworten »
wäre die Aufgabe damit erledigt ?
13.11.2015, 00:08	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst das Ergebnis entweder in der Form $\begin{eqnarray} z = r \cdot e^{i \varphi} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} z = a + bi \end{eqnarray}$ schreiben. Wenn sonst nichts anders gefordert ist, ist es fertig. mY+

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