Matrixpotenz in Gleichung auflösen

29.10.2015, 13:33	Math321	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixpotenz in Gleichung auflösen Hey ihr, ich stehe etwas auf dem Schlauch. Der Ansatz erscheint mir komisch und ich finde nichts in der Literatur darüber. Es geht um folgendes Problem. Habe eine Gleichung mit drei Matrizen jeweils 2x2: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}^{2} \end{eqnarray}$ Das heißt um die Matrix mit den B Elementen zu lösen, muss ich die Wurzel der anderen Matrix ziehen: $\begin{eqnarray} <br /> \sqrt{\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}}= \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Denke ich hierbei zu einfach? Oder stimmt das Auflösen so? LG
29.10.2015, 15:20	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixpotenz in Gleichung auflösen Die Frage ist was dir die Notation bringen würde. Die Matrixmultiplikation ist nicht elementweise definiert, d.h. im Allgemeinen wird die Wurzel ebenfalls nicht elementweise gezogen (ausnahmen wären z.B. Diagonalmatrizen). D.h. du hast nun eine Symbolik, die mehr oder weniger das gleiche aussagt wie vorher, und du hast effektiv keine Möglichkeit diese zu berechnen. Schlimmer noch: In den reellen Zahlen (den "1x1 Matrizen") ist die Wurzel für die "Hälfte" der Zahlen nicht in den reellen Zahlen selbst zu finden, die andere Hälfte hat bis zu 2 verschiedene Zahlen, die quadriert das gewünschte liefern. Wie bei so vielem wird es nur schlimmer, wenn man allgemein $\begin{eqnarray} n \times n \end{eqnarray}$ betrachtet. Z.B. hat die $\begin{eqnarray} 2 \times 2 \end{eqnarray}$ Einheitsmatrix schon (mindestens) die 4 'Wurzeln' $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Welche davon meinst du dann mit der Wurzel?
30.10.2015, 13:34	Math321	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixpotenz in Gleichung auflösen Okay das hört sich schonmal schlecht an. Aber gibt es denn keinen Weg die Gleichung aufzulösen? $\begin{eqnarray} <br /> A=BB \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ 2x2 Matrizen sind und ich nur $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray*}$ gegeben habe.
30.10.2015, 13:55	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixpotenz in Gleichung auflösen Wie man es machen kann: Du hast $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ gegeben, und willst ein $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A = B\cdot B \end{eqnarray}$ . Das rechte Produkt kannst du ausmultiplizieren und bekommst so 4 Gleichungen mit 4 Variablen. Die Gleichungen sind nicht linear, sondern quadratisch, d.h. man muss etwas mehr aufpassen. Insbesondere bekommt man so ggf. mehrer Lösungen oder auch mal keine (ähnlich wie bei den reellen Zahlen).

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