Passivität / Integrale...

29.10.2015, 14:48	Vercalct	Auf diesen Beitrag antworten »
Passivität / Integrale... Hallo, ich möchte nachweisen, dass es sich bei dem System $\begin{eqnarray} G(s) = \frac{1}{s} \end{eqnarray}$ , also ein einfacher Integrator, um ein passives handelt. Leider ist das kein asymptotisch stabiles System, deshalb muss ich die Passivität über den Satz: $\begin{eqnarray} <br /> \langle u, y \rangle_T = \langle u, \int_0^t{u(\tau) \operatorname{d}\tau}\rangle_T = \int_0^T{u(t) \circ \int_0^t{ u(\tau) \operatorname{d}\tau } \operatorname{d}t } \ge -c \hspace{10px}\forall{T}<br /> \end{eqnarray}$ zeigen, zumindest nach meinem Verständnis. c muss eine positive Konstante sein. Jetzt bin ich nich so der große Integrator, aber nach etwas nachdenken fiel mir schließlich auf, dass dort ja nichts anderes steht als $\begin{eqnarray} <br /> \int_0^T{f'(x) f(x) \operatorname{d} x}<br /> \end{eqnarray}$ oder etwa nicht? Mit partieller Integration komme ich dann auf $\begin{eqnarray} <br /> \int_0^T{u(t) \circ \int_0^t{ u(\tau) \operatorname{d}\tau } \operatorname{d}t } = \frac{1}{2} \left[ \left( \int_0^t{ u(\tau) \operatorname{d}\tau} \right)^2 \right] _0^T<br /> \end{eqnarray}$ oder habe ich da jetzt einen krassen Logikfehler gemacht? So gesehen ist die Rechte Seite natürlich immer größer gleich Null, und wenn man nun auch Funktionen mit Vergangenheit zulassen würde, dann wäre das Integral bis 0 sozusagen die Konstante c, ja? Ich möchte mich nur vergewissern, weil mir das nicht so direkt in's Auge gefallen ist. Viele Grüße, der Verkalkte
29.10.2015, 14:55	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Passivität / Integrale... Ich kenne mich mit stabilen Systemen nicht wirklich aus, daher weiß ich nicht ob der Satz wirklich gilt. Aber die Rechnung mit Folgerung danach sind richtig.
29.10.2015, 15:02	Vercalct	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Dir, es war mir wichtig, dass noch jemand anderes einen Blick drauf wirft, weil ich mir einfach unsicher war, ob ich vielleicht etwas nicht beachtet habe. Der Satz sagt einfach nur aus, dass sozusagen die abgegebene Energie eines Systems nach unten beschränkt ist. u ist Eingangsgröße und y ist Ausgangsgröße. Lässt sich wohl am einfachsten motivieren, wenn man sich Spannung und Strom vorstellt, dann ist das Integral ja gerade die Energie von 0 bis T. Wenn es für alle T größer als eine Konstante ist, dann gibt das System nicht beliebig viel Energie ab. Was es abgibt, war dann sozusagen am Anfang vom draußen eingespeichert. Nur falls es Dich interessiert, bin Dir auf jeden Fall sehr dankbar für den zweiten Blick!
29.10.2015, 15:07	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Erklärung. Was heißt es denn, wenn Funktionen eine Vergangenheit haben? Ich bin mal davon ausgegangen, dass man überall die 0 als untere Zeitgrenze durch ein $\begin{eqnarray} t_0 < 0 \end{eqnarray}$ ersetzt. Aber auch dann gilt die Folgerung, dass es größergleich 0 ist, da auch $\begin{eqnarray} \int_{t_0}^t u(\tau) d\tau \end{eqnarray}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ ist.
29.10.2015, 15:21	Vercalct	Auf diesen Beitrag antworten »
Hrmmm, mein verquerer Gedanke war glaube ich, nicht überall $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ einzusetzen, sondern sozusagen: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{1}{2} \left[ \left( \int_{t_0}^t u(\tau) \operatorname{d}\tau \right)^2 \right]_0^T<br /> \end{eqnarray}$ d.h. wir beobachten nur die Funktionen und ihren Energieumsatz im Zeitraum 0 bis T, ohne genau zu wissen was davor los war, aber überlegen uns, dass da vor unsererer Zeit schon etwas passiert sein mag. Vielleicht ist das eine leicht unlogische Sichtweise, wäre nicht neu für mich
29.10.2015, 15:24	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann gefährlich sein, weil das als Differenz zweier nichtnegativer Objekte durchaus negativ sein kann. Und wie stark es negativ wird, hängt dann von u ab. Wenn das kein Problem ist, dann kann man natürlich eine untere Schranke dann in Abhängigkeit von u angeben. Fragt sich nur, ob das sein darf oder u sonst etwas erfüllen soll.
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29.10.2015, 15:29	Vercalct	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, das System gibt dann sozusagen für einen Betrachter Energie ab, aber egal wie lange er betrachten wird, es wird nie mehr als die Energie von t0 bis 0 sein, was ja eine Konstante ist, deshalb das $\begin{eqnarray} \ge -c \end{eqnarray}$ in der Formel für ein beliebiges positives c. D.h. Energiespeicher sind zugelassen, aber keine Energie-Erzeuger, denn für die ließe sich ja keine Konstante c finden.

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