Erfüllen alle reellen Zahlen die Ungleichung?

29.10.2015, 19:14

Keano

Erfüllen alle reellen Zahlen die Ungleichung?

Meine Frage:
Hallo!

Wir sollen zeigen, dass eine Ungleichung für alle reellen Zahlen x >= 3 gilt:
$\begin{eqnarray*} x^{2} +(x+1)^{2}\geq (x+2)^{2} \end{eqnarray*}$

Was mich aktuell noch stutzig macht ist, dass ich die Ungleichung für alle reellen Zahlen beweisen soll. Ist meine Berechnung, sofern sie überhaupt richtig ist, ausreichend?

Meine Ideen:
Ich habe versucht einen Widerspruchsbeweis anzuwenden:

Kann $\begin{eqnarray*} x^{2} +(x+1)^{2}< (x+2)^{2} \end{eqnarray*}$ gelten?

$\begin{eqnarray*} x^{2} +(x+1)^{2}< (x+2)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2x+1< x+2 \end{eqnarray*}$

Hier entsteht ein Widerspruch, da x mindestens 3 betragen muss, damit die Ungleichung gilt. Somit ist die obenstehende Ungleichung bewiesen.

29.10.2015, 19:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Keano
$\begin{eqnarray*} x^{2} +(x+1)^{2}< (x+2)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2x+1< x+2 \end{eqnarray*}$

Sag jetzt nicht, du hast links die "Rechenregel" $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+b^2} \stackrel{???}{=} a+b \end{eqnarray*}$ verwendet... Kotzen

http://www.spiegel.de/schulspiegel/abitu...-a-1049261.html

29.10.2015, 19:37

Keano

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Oha, ist mir gar nicht aufgefallen geschockt

Also nochmal neu:

$\begin{eqnarray*} x^{2} +(x+1)^{2}< (x+2)^{2} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 2x^2+2x+1 < x^2+4x+4 \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} x^2+2x+1 < 4x+4 \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} x^2+1 < 2x+4 \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} x^2 < 2x+3 \end{eqnarray*}$

So besser?

29.10.2015, 19:40

HAL 9000

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Ja, viel besser. Jetzt musst du noch zeigen, dass die letzte Ungleichung $\begin{align*} x^2<2x+3 \end{align*}$ für $\begin{align*} x\geq 3 \end{align*}$ nicht gilt. (Ich hätte hier den direkten Beweis vorgezogen, d.h., dann müsste man $\begin{align*} x^2\geq 2x+3 \end{align*}$ für $\begin{align*} x\geq 3 \end{align*}$ nachweisen.)

P.S.: Die Gleichheitszeichen jeweils ganz links gehören da nicht hin - weg damit.

29.10.2015, 20:04

Keano

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Ok, also würde das als Beweis für alle reellen Zahlen x >= 3 ausreichen?

30.10.2015, 09:32

klarsoweit

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Hm. Ich sehe jetzt nicht, daß du die Ungleichung $\begin{eqnarray*} x^2 \geq 2x+3 \end{eqnarray*}$ für x >= 3 bewiesen hast.

30.10.2015, 18:24

Keano

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Ok, also habe ich jetzt das ganze in die andere Richtung gemacht:

$\begin{eqnarray*} x^2+(x+1)^2\geq (x+2)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2\geq 2x+3 \end{eqnarray*}$

Und 3 eingesetzt erhalte ich
$\begin{eqnarray*} 9\geq 9 \end{eqnarray*}$

Somit gilt die Ungleichung ja als erfüllt für alle x >= 3, richtig?

30.10.2015, 18:26

HAL 9000

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Einsetzen des einen Wertes $\begin{align*} x=3 \end{align*}$ ist doch kein Beweis, dass es für alle $\begin{align*} x\geq 3 \end{align*}$ gilt. unglücklich

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