Summe von Logarithmen

29.10.2015, 20:12	te one	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe von Logarithmen Guten Abend, ich muss folgende Summe (annähernd) bestimmen: $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^{\log_{2}(n)}(\log(\frac{n}{2^{i}})) \end{eqnarray}$ Bisher haben wir in den Vorlesungen immer die Aussage treffen können, dass: $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^{\log_{2}(n)}(\log(\frac{n}{2^{i}})) \leq \sum_{i=0}^{\infty}(\log(\frac{n}{2^{i}})) \end{eqnarray}$ gilt und dann mit der geometrischen Reihe die Summe bis unendlich berechnet. Wie schaffe ich das hier mit Logarithmus? Danke&Gruß
29.10.2015, 20:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, in der angegebenen Form ist die Summe nur für Zweierpotenzen $\begin{align} n=2^m \end{align}$ erklärt, weil ansonsten eine "krumme" obere Summationsgrenze steht, was nicht gestattet ist - aber womöglich meinst du ja $\begin{align} \sum_{i=0}^{\left\lfloor \log_2(n)\right\rfloor} \log\left( \frac{n}{2^i} \right) \end{align}$ .
29.10.2015, 21:19	te one	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich meine ich genau das - du machst deinem Rang "Profi" alle Ehre Aber wie bekomme ich nun elegant das i in die Potenz? (Brauche ich ja um die Gesetze der geometrischen Reihen anwenden zu können)
29.10.2015, 21:59	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte mal noch die Frage, was dein $\begin{align} \log \end{align}$ für ein Logarithmus ist, das heißt: Welche Basis? Ist allerdings erstmal nachrangig, zunächst kann man mit Logarithmengesetzen umformen $\begin{align} \log\left( \frac{n}{2^i} \right) = \log(n) - \log\left( 2^i \right) = \log(n) - i\log(2) \end{align}$ . Damit folgt (ich kürze mal $\begin{align} m=\left\lfloor \log_2(n)\right\rfloor \end{align}$ ab): $\begin{align} \sum_{i=0}^m \log\left( \frac{n}{2^i} \right) = \sum_{i=0}^m \left( \log(n) - i\log(2) \right) = (m+1)\log(n) - \log(2)\cdot \sum_{i=0}^m i \end{align}$ Und die Summe rechts kann man auch noch auflösen...

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