Natürliche Zahlen zur Bezeichnung der Ordinalzahlen

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Pizze Auf diesen Beitrag antworten »
Natürliche Zahlen zur Bezeichnung der Ordinalzahlen
Meine Frage:
Kann man sagen, dass zur Bezeichnung der Ordinalzahlen die Natürlichen Zahlen verwendet werden?
Wie lautet eine richtige Formulierung?

Meine Ideen:
Ich denke, man kann sagen, dass zur Bezeichnung der Ordinalzahlen die Natürlichen Zahlen verwendet werden.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das kann man nicht sagen und nicht denken. Georg Cantor wusste es besser: https://de.wikipedia.org/wiki/Ordinalzahl
 
 
Pizze Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!
Geht es um Ordnungsisomorphismus? "Man kann zeigen, dass jede endliche wohlgeordnete Menge ordnungsisomorph zu (genau) einer natürlichen Zahl ist." Ist Ordnungsisomorphismus keine Bezeichnung?
Gruß Pizze
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe die Frage nicht. Ordinalzahlen sind nicht nur für endliche Mengen definiert. Sicher ist keine natürliche Zahl.
Pizze Auf diesen Beitrag antworten »

Let x be an ordinal.
Let denote the successor of x.
Let 1 denote (ordinal) one, the successor of the zero ordinal ∅.
Then:
x+1=
where + denotes ordinal addition.

Let x and y be ordinals such that x ≤ y.
Then there exists a unique ordinal z such that (x+z)=y .
That is:

z = y - x
Beispiel 2+3=5 und 5-2=3 in N
2: {O,{O}} x
3: {O,{O},{O,{O}}} z
4: {{O},{O,{O},{O,{O}}}}
5: {{O},{{O},{O,{O},{O,{O}}}}} y
{{O},{{O},{O,{O}}}} y-z

Hier stimmt doch was nicht!
Es geht mir um den praktischen Unterschied zwischen Ordnungszahlen und den natürlichen Zahlen.
Was ist am Beispiel falsch?
Gruß
Pizze
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Am Beispiel ist gar nichts falsch. Natürliche Zahlen sind Ordinalzahlen, denn jede endliche wohlgeordnete Menge ist zu genau einer natürlichen Zahl ordnungsisomorph. Natürliche Zahlen werden z.B. durch die Dedekind-Peano-Axiome definiert, es gibt Modelle dafür, und die geordnete Halbgruppe der natürlichen Zahlen ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Der praktische Unterschied zwischen natürlichen Zahlen und Ordinalzahlen ist, dass die natürlichen Zahlen nur eine "winzigkleine" echte Teilmenge der Ordinalzahlen sind. Nach Cantor besitzt jede - auch jede unendliche - Menge eine Wohlordnung, und jede - auch jede unendliche - wohlgeordnete Menge ist ordnungsisomorph zu genau einer Ordinalzahl. Es gibt eine unendliche Hierarchie von immer größeren Ordinalzahlen, von denen die natürlichen Zahlen und nur den Anfang darstellen.
Pizze Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank! Meine Anfangsfrage: „Kann man sagen, dass zur Bezeichnung der Ordinalzahlen die Natürlichen Zahlen verwendet werden? Wie lautet eine richtige Formulierung?“ Ist Ihre Antwort auf die erste Frage "nein" und auf die zweite Frage: "Natürliche Zahlen sind Ordinalzahlen, denn jede endliche wohlgeordnete Menge ist zu genau einer natürlichen Zahl ordnungsisomorph."?
Gruß von Pizze
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Betonung sollte anders sein: "Natürliche Zahlen sind auch Ordinalzahlen, denn jede endliche Menge ist zu genau einer natürlichen Zahl ordnungsisomorph."
Ganz wichtig dabei ist, dass nicht jede Ordinalzahl eine natürliche Zahl ist, deshalb kann man zur Bezeichnung von Ordinalzahlen die natürlichen Zahlen nicht verwenden.
Pizze Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Ich glaube, dass ich das Problem nun verstanden habe.
Gruß pizze
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