Scheitelpunkte ohne Ableitungen bestimmen x^4

30.10.2015, 19:22

vogs

Scheitelpunkte ohne Ableitungen bestimmen x^4

Hallo,

ich hab folgende Fkt.: x^4-4x^2

Kann ich irgendwie, ohne Ableitungen, die Scheitelpunkte bestimmen (ähnlich zur Scheitelpunktsform bei einer quadratischen Fkt)?

Die 0-Stellen kann ich durch substituieren (z.B. z=x^2) mit der quadratischen Lösungsformel berechnen. Wenn ich dann mit dem substituieren auf das vollständige Quadrat ergänze komme ich immerhin auf 2 Scheitelpunkte, aber nicht auf den 3.

30.10.2015, 19:35

klauss

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Scheitelpunkte ohne Ableitungen bestimmen x^4
Mit Scheitelpunkten meinst Du wahrscheinlich die beiden Minima.
Hinweis: Für die Nullstellen mußt Du noch nicht einmal substituieren, da du x^2 ausklammern kannst. D. h. x = 0 ist eine doppelte Nullstelle. Wie die aussieht, dürfte bekannt sein. Außerdem: Die Funktion ist achsensymmetrisch!

30.10.2015, 22:49

vogs

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, die beiden lokalen Minima und das lokale Maxima mein ich. Weiß ich durch das ermitteln der doppelten 0-Stelle schon, dass dies hier ein lokalex Maxima ist?

Wie kann ich auf die lokalen Minima kommen, ohne abzuleiten? Geht das?

Kann ich das so machen, dass ich schreibe $\begin{eqnarray*} x^2((x-2)(x+2)) \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} x-2 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+2 = 0 \end{eqnarray*}$ . Und separat $\begin{eqnarray*} x^2=0 \end{eqnarray*}$

An diesen Punkte müsste die Kurve dann ja entsprechend die Extremwerte annehmen. Kann ich das so argumentieren?

31.10.2015, 09:31

vogs

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, wie oben beschrieben wirds wohl nicht funktionieren können. Gibts einen Weg ohne die Ableitung zu bilden?

31.10.2015, 12:20

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

ich hab folgende Fkt.: x^4-4x^2

Kann ich irgendwie, ohne Ableitungen, die Scheitelpunkte bestimmen (ähnlich zur Scheitelpunktsform bei einer quadratischen Fkt)?

Im Prinzip hast du hier ja mit z=x² quasi eine quadratische Form und kannst ja eben denselben Gedanken benutzen, der auch zum Scheitelpunkt bei quadratischen Funktionen führt.
Damit wäre das (globale) Minimum direkt ablesbar.

31.10.2015, 12:44

vogs

Auf diesen Beitrag antworten »

Also manchmal steh ich echt auf der Leitung unglücklich

Zu Dokumentationszwecken schreib ich hin wie ichs gemacht hab.

$\begin{eqnarray*} x^4-4x^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z=x^2 => z^2-4z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => (z-2)^2-4 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} => (x^2-1)^2-4 \end{eqnarray*}$

Dann kann ich $\begin{eqnarray*} x^2-2=0 \end{eqnarray*}$ setzen, da die Kurve ein Minimum hat, wenn der Klammerausdruck 0 wird. Rückeinsetzen für die Y-Koordinate kann ich mir auch ersparen, da wenn der Klammerausdruck 0 wird, nur mehr die -4 über bleiben. also $\begin{eqnarray*} S1=(+\sqrt{2}/-4) S2=(-\sqrt{2}/-4) \end{eqnarray*}$

Nochmal zur Frage wie ich argumentieren kann, dass bei 0/0 ein lokales Maxima ist?

31.10.2015, 12:55

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Nochmal zur Frage wie ich argumentieren kann, dass bei 0/0 ein lokales Maxima ist?

Maxima ist Plural, Maximum ist Singular. Augenzwinkern

Es kommt (wie immer) darauf an, von was du ausgehen willst/darfst.
Wenn du in deiner Vorlesung etwas über mehrfache Nullstellen mit entsprechenden Sätzen oder Bemerkungen behandelt hast, dann kannst du das sicherlich hier benutzen.
Es wäre auch möglich, sich die faktorisierte Form f(x)=x²(x²-4) mal lokal zwischen den Nullstellen -2 und 2 anzuschauen bzw. nach oben abzuschätzen.

31.10.2015, 13:49

DrummerS

Auf diesen Beitrag antworten »

Die gesuchte Scheitelpunktform wäre vermutlich dann

$\begin{eqnarray*} f\left(x\right)=x^{4}-4x^{2} = x\left(x^{2}-2\right)+x\left(x^{3}-x^{2}-4x+2\right) \end{eqnarray*}$

Da muss man allerdings erstmal drauf kommen.....

31.10.2015, 14:04

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke da eher an schlichte quadratische Ergänzung

$\begin{align*} f(x) = x^4-4x^2 = (x^2-2)^2-4 = ((x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2}))^2-4 \end{align*}$

mit den beiden lokalen wie globalen Minimumpunkten $\begin{align*} \left(\pm\sqrt{2},-4\right) \end{align*}$ . Den lokalen Maximpunkt $\begin{align*} (0,0) \end{align*}$ erfasst man so natürlich nicht.

Neue Frage »

Antworten »

Scheitelpunkte ohne Ableitungen bestimmen x^4

Verwandte Themen