Axiome des Vektorraums

30.10.2015, 19:31

MatheDerp

Axiome des Vektorraums

Meine Frage:
Sei F= \left\{ {\mathbb R \to \mathbb R } ,{x \to f(x)} \right\} die Menge der reellen Funktionen. Zeigen Sie, dass (F,+,*) einen Vektorraum bildet, wobei Addition und Multiplikation mit einem Skalar a\in \mathbb R für f,g\in F punktweise erklärt wird (f+g)(x)=f(x)+g(x), (a*f)(x)=a*f(x).

Hinweis: Machen Sie sich klar, dass in der Aufgabe jeweils zwei verschiedene "+" und "*" auf der linken und rechten seite des Gleichheitszeichens auftreten.

Meine Ideen:
Ok ... Vektorraumaxiome ... ist klar: Muss ne abelsche (kommutative) Gruppe sein und die zusätzlichen Axiome für den Vektorraum müssen gelten, aber ich habe keine Ahnung wie ich hier ansetzen soll. Wäre um einen Anstatz dankbar.

30.10.2015, 19:55

Elvis

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RE: Axiome des Vektorraums

Zitat:

Original von MatheDerp
Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} F= \left\{ {\mathbb R \to \mathbb R } ,{x \to f(x)} \right\} \end{eqnarray*}$ die Menge der reellen Funktionen. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} (F,+,*) \end{eqnarray*}$ einen Vektorraum bildet, wobei Addition und Multiplikation mit einem Skalar $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f,g\in F \end{eqnarray*}$ punktweise erklärt wird $\begin{eqnarray*} (f+g)(x)=f(x)+g(x), (a*f)(x)=a*f(x) \end{eqnarray*}$ .

Hinweis: Machen Sie sich klar, dass in der Aufgabe jeweils zwei verschiedene "+" und "*" auf der linken und rechten seite des Gleichheitszeichens auftreten.

Meine Ideen:
Ok ... Vektorraumaxiome ... ist klar: Muss ne abelsche (kommutative) Gruppe sein und die zusätzlichen Axiome für den Vektorraum müssen gelten, aber ich habe keine Ahnung wie ich hier ansetzen soll. Wäre um einen Anstatz dankbar.

Die LATEX-Klammern setzt das "f(x)"-Symbol über dem Texteingabefeld.

z.B. muss in einem Vektorraum gelten $\begin{eqnarray*} \forall f\in F \;:\; 1*f=f \end{eqnarray*}$ , und das zeigt man so: $\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R \forall f\in F \;:\; (1*f)(x)=1\cdot f(x)=f(x) \end{eqnarray*}$

30.10.2015, 20:06

MatheDerp

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RE: Axiome des Vektorraums
Ok war etwas ungenau formuliert. Ich weiß nicht wie ich da die Assoziativität nachweise sollte auf den ersten blick erscheint mir dies ein wenig trivial aber ich glaube ich lasse mich da gerade von täuschen.
Und muss ich in dem Fall die Gruppenaxiome nur für (F,+) oder auch für (F,*) zeigen?

31.10.2015, 09:08

Elvis

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Die Frage ist gar nicht gut.
Wenn Dir etwas trivial erscheint ist das ein besonders guter Grund, das genau durchzuführen. Wer das nicht macht, lernt nichts und kann auch schwierigere Sachen nicht beweisen.
Ein $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum ist eine abelsche Gruppe $\begin{eqnarray*} (V,+) \end{eqnarray*}$ mit einer skalaren Multiplikation $\begin{eqnarray*} *:K\times V\to V,(\alpha,x)\to\alpha * x \end{eqnarray*}$ , für den die Vektorraumaxiome gelten. Es geht hier um den Vektorraum, nicht um eine Algebra, nur für eine Algebra ist zusätzlich die Multiplikation zu betrachten.

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