Mittelwertsatz der Differentialrechung - Seite 2

07.11.2015, 19:11

klarsoweit

Zitat:

Original von Abstract
Nochmal:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=s(1-x)^{s-1} = \frac{(1-(1-x)^s)-(1-(1-0)^s)}{x-0} = \frac{1-(1-x)^s}{x} \end{eqnarray*}$

Jetzt hast du wieder beim MWS gehuddelt. Korrekt ist:

Es gibt ein x_0 mit 0 < x_0 < x und $\begin{eqnarray*} f'(x_0) = s(1-x_0)^{s-1} = \frac{(1-(1-x)^s)-(1-(1-0)^s)}{x-0} = \frac{1-(1-x)^s}{x} \end{eqnarray*}$

Da 0 < x_0 < 1 ist, ist $\begin{eqnarray*} 0 < 1 - x_0 < 1 \Rightarrow (1-x_0)^{s-1} \leq 1 \end{eqnarray*}$ . Damit folgt:

$\begin{eqnarray*} s \geq \frac{1-(1-x)^s}{x} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch mit x multiplizieren und es folgt die Behauptung. Augenzwinkern

Du siehst: alles kein Hexenwerk. Man muß nur genau arbeiten. Lehrer

07.11.2015, 19:59

Abstract

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Okay, danke! Ich sehe Großteils worauf du hinauswillst.

Zitat:

Original von klarsoweit
Da 0 < x_0 < 1 ist, ist $\begin{eqnarray*} 0 < 1 - x_0 < 1 \Rightarrow (1-x_0)^{s-1} \leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Ja, $\begin{eqnarray*} x_0 \in (0,1) \end{eqnarray*}$ und somit gilt dasselbe auch für $\begin{eqnarray*} 1 - x_0 \end{eqnarray*}$ , dass ist mir klar. Und $\begin{eqnarray*} (1-x_0)^{s-1} \end{eqnarray*}$ ist dann auch größer oder gleich 1 wenn man x_0 einsetzt, dass ist mir auch bewusst.
Aber warum lässt du das s vor der Klammer weg? bzw. wie kommst du auf den nächsten Schritt:

Zitat:

Damit folgt:
$\begin{eqnarray*} s \geq \frac{1-(1-x)^s}{x} \end{eqnarray*}$

08.11.2015, 14:21

Abstract

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Also wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} (1-x_0)^{s-1} \leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \geq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s(1-x_0)^{s-1} = \frac{1-(1-x)^s}{x} \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} (1-x_0)^{s-1}=1 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} s = \frac{1-(1-x)^s}{x} \end{eqnarray*}$ .

Und was ist wenn $\begin{eqnarray*} (1-x_0)^{s-1} < 1 \end{eqnarray*}$ ? Dann ist doch auch einfach $\begin{eqnarray*} s(1-x_0)^{s-1} = \frac{1-(1-x)^s}{x} \end{eqnarray*}$
Weil das beasgt ja unsere Mittelwertsatzgleichung. Ich brauche glaube ich doch noch einen Tipp bitte.

09.11.2015, 07:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von Abstract
Und was ist wenn $\begin{eqnarray*} (1-x_0)^{s-1} < 1 \end{eqnarray*}$ ?

Multipliziere die Ungleichung mit s und du erhältst $\begin{eqnarray*} s > s(1-x_0)^{s-1} \end{eqnarray*}$ .

Letzteres wiederum ist gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1-(1-x)^s}{x} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

09.11.2015, 18:37

Abstract

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Ok, jetzt ergibt es Sinn, danke smile

Zitat:

Original von klarsoweit
Da 0 < x_0 < 1 ist, ist $\begin{eqnarray*} 0 < 1 - x_0 < 1 \Rightarrow (1-x_0)^{s-1} \leq 1 \end{eqnarray*}$ . Damit folgt:

$\begin{eqnarray*} s \geq \frac{1-(1-x)^s}{x} \end{eqnarray*}$

Kurze Klarstellung: Es gilt doch $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$ und laut MWS $\begin{eqnarray*} x_0 \in {\color{red}{(}}0,x {\color{red}{)}} \end{eqnarray*}$

Aufgrund der Begrenzung von x, ist $\begin{eqnarray*} x_0 \in {\color{red}{(}}0,1 {\color{red}{)}} \end{eqnarray*}$ und dadurch $\begin{eqnarray*} 0 < 1-x_0 <1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1-x_0)^{s-1} < 1 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ , oder? Wie kann der Term $\begin{eqnarray*} (1-x_0)^{s-1} = 1 \end{eqnarray*}$ sein, wenn $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ nie gleich 0 bzw. $\begin{eqnarray*} 1-x_0 \end{eqnarray*}$ nie gleich 1 werden können?

Oder darf man auch $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ schreiben, wenn es auch nie im Leben = werden kann? verwirrt

09.11.2015, 19:40

magic_hero

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Zitat:

Original von Abstract
Oder darf man auch $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ schreiben, wenn es auch nie im Leben = werden kann? verwirrt

Genau das. $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ bedeutet "kleiner (oder) gleich".

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