vollständige Induktion will nicht gelingen

31.10.2015, 00:08

DrHWI

vollständige Induktion will nicht gelingen

Meine Frage:
Hallihallo! smile

Ich übe mich momentan wieder an einer Aufgabe der vollständigen Induktion und scheine festzustecken. Aufgabe lautet wie folgt:

$\begin{eqnarray*} B(n):\sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^k k^2=(-1)^n \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Beweise durch vollständige Induktion, dass B(n) für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt.

Meine Ideen:
Ich erspare mir an dieser Stelle einmal Induktionsanfang und - annahme und lege sofort mit dem Induktionsschritt los. Und zwar würde dieser bei mir lauten:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^k k^2 = \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^k k^2 + (-1)^{n+1} (n+1)^2 = (-1)^{n+1} \frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{eqnarray*}$

Soweit so gut. Nun nutze ich die Induktionsannahme und komme auf dieses:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (-1)^n \frac{n(n+1)}{2} + (-1)^{n+1} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Und von da an starten meine Probleme bereits. Wie soll ich nun anfangen? Insbesondere stören mich die beiden Konstanten mit $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ . Meine erste Idee wäre gewesen, die Brüche natürlich gleichnamig zu machen, also dann
$\begin{eqnarray*} =(-1)^n * (-1)^{n+1} \frac{n(n+1)+2(n+1)^2}{2} \end{eqnarray*}$

Dabei könnte ich dann ausklammern und zwar:
$\begin{eqnarray*} (-1)^n * (-1)^{n+1} \frac{(n+1)(n+2(n+1))}{2} \end{eqnarray*}$

Das Ganze kommt ja meiner Annahme schon recht nahe, aber wie sollte ich das hier nun weiter zusammenfassen? Ich habe da wirklich keine weitere Idee. Vielleicht habe ich ohnehin schon einen Schritt getan, der den Rechengesetzen widerspricht. So ganz richtig kommt mir die Sache nämlich ohnehin nicht vor. Wie dem auch sei: Ich würde mir auf jeden Fall sehr über jegliche Hilfe freuen! Gott

31.10.2015, 00:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von DrHWI
Nun nutze ich die Induktionsannahme und komme auf dieses:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (-1)^n \frac{n(n+1)}{2} + (-1)^{n+1} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

[...]

$\begin{eqnarray*} =(-1)^n * (-1)^{n+1} \frac{n(n+1)+2(n+1)^2}{2} \end{eqnarray*}$

Seit wann gibt es denn die Rechenregel $\begin{align*} ab + cd \stackrel{?}{=} ac(b+d) \end{align*}$ , nach der du hier anscheinend operierst? unglücklich

Nein, es ist einfach $\begin{align*} (-1)^{n+1} = (-1)^1\cdot (-1)^n = -(-1)^n \end{align*}$ bzw. auch andersherum $\begin{align*} (-1)^n = -(-1)^{n+1} \end{align*}$ . Du kannst also ausklammern

$\begin{eqnarray*} (-1)^n \frac{n(n+1)}{2} + (-1)^{n+1} (n+1)^2 = (-1)^{n+1}\cdot \left( -\frac{n(n+1)}{2} + (n+1)^2\right) \end{eqnarray*}$ .

31.10.2015, 00:36

DrHWI

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Erst einmal vielen Dank für die sehr schnelle Antwort! smile

Ich bin durch dieses Wissen nun auch sofort auf mein angezieltes Ergebnis gekommen. Eines erschließt sich mir leider allerdings noch nicht.
Dass $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1}=(-1)^n*(-1)^1=-(-1)^n \end{eqnarray*}$ ergibt, finde ich absolut nachvollziehbar und wusste ich bereits.
Aber inwiefern kann ich sagen, dass $\begin{eqnarray*} (-1)^n=-(-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ gilt? Ich sehe kein Gesetz dahinter? Hammer

31.10.2015, 00:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von DrHWI
Dass $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1}=(-1)^n*(-1)^1=-(-1)^n \end{eqnarray*}$ ergibt, finde ich absolut nachvollziehbar und wusste ich bereits.
Aber inwiefern kann ich sagen, dass $\begin{eqnarray*} (-1)^n=-(-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ gilt? Ich sehe kein Gesetz dahinter? Hammer

Na wechsle doch einfach mal in der Gleichung $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1}=-(-1)^n \end{eqnarray*}$ das Vorzeichen (d.h. multipliziere diese Gleichung mit (-1)). Dass du sowas triviales nicht siehst ist ein Zeichen dafür, dass du wohl dringend eine Ruhepause brauchst. So wie ich auch - Gute N8. Wink

31.10.2015, 14:15

DrHWI

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Nochmals hallo! smile

Wieder mit neuem Elan bin hier und habe mir nochmals das Geschriebene von gestern angeschaut. Leider will es einfach nicht verstehen,
Wenn ich sage $\begin{eqnarray*} (-1)*(-1^{n+1}= -(-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ dann ist das bei mir äquivalent zu $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+2} \end{eqnarray*}$ und nicht zu $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ ? Hammer

31.10.2015, 14:41

Leopold

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$\begin{align*} (-1)^{n+2} = (-1)^n \cdot (-1)^2 = (-1)^n \cdot 1 = (-1)^n \end{align*}$

Überhaupt gilt:

$\begin{align*} (-1)^0 = (-1)^2 = (-1)^4 = (-1)^6 = \ldots = 1 \end{align*}$

$\begin{align*} (-1)^1 = (-1)^3 = (-1)^5 = (-1)^7 = \ldots = -1 \end{align*}$

Auf jeden Fall gilt also $\begin{align*} (-1)^{n+2} = (-1)^n \end{align*}$ .

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