Allgemeine harmonische Reihen: Grenzwertannäherung über e-Funktion

31.10.2015, 02:21	DrummerS	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemeine harmonische Reihen: Grenzwertannäherung über e-Funktion Hallo zusammen, aus Eigeninteresse und für die hier Interessierten habe ich mal eine spezielle Funktion getestet. Es existieren ja bekanntlich Lösungen nach dem Muster $\begin{eqnarray} \zeta\left(n\right)=c\pi^{n} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \zeta\left(n\right) \end{eqnarray}$ als Riemannsche Zeta-Funktion für positive gerade Zahlen $\begin{eqnarray} \left(n\right) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ als Konstante sowie wesentlich kompliziertere Ausdrücke für positive ungerade Zahlen. Ebenso existieren bereits numerische Methoden, um solche Lösungen anzunähern, und eine ganze Menge mehr. Alles eben Erwähnte steht hier geschrieben (etwas verteilt). Inspiriert durch diesen Post habe ich mal spaßeshalber eine Annäherung mit einer Exponentialfunktion $\begin{eqnarray} \left(A\left(n\right)\right) \end{eqnarray}$ nach dem Muster $\begin{eqnarray} A\left(x\right) = k-ae^{-xb} \end{eqnarray}$ versucht. Um die Koeffizienten $\begin{eqnarray} a,b \text{ und } k \end{eqnarray}$ zu bestimmen, werden zunächst die folgenden Werte $\begin{eqnarray} \left(E_{m}\right) \end{eqnarray}$ benötigt: $\begin{eqnarray} E_{m} = \sum\limits_{p=1}^{m} \frac{1}{p^n} \text{ für } m=\left\{ 1,2,3,4\right\} \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} E_{m} = A\left(m\right) \end{eqnarray}$ für alle betrachteten $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ und durch Umformen des Gleichungssystems lassen sich die Koeffizienten bestimmen über $\begin{eqnarray} b = \frac{1}{2}\text{ln}\left(\frac{E_{2}-E_{1}}{E_{4}-E_{3}} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a = \frac{E_{2}-E_{1}}{e^{-b}-e^{-2b}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k = E_{1}+ae^{-b} \end{eqnarray}$ . Werden nun die bekannten Lösungen den Annäherungen gegenübergestellt, zeigt sich: $\begin{eqnarray} \zeta\left(2\right) = \frac{\pi^{2}}{6} \approx 1.6449\text{, }\lim_{x \to \infty} A\left(x\right) = 1.5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \zeta\left(3\right) \approx 1.2020\text{, }\lim_{x \to \infty} A\left(x\right) \approx 1.1933 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \zeta\left(4\right) = \frac{\pi^{4}}{90} \approx 1.0823\text{, }\lim_{x \to \infty} A\left(x\right) \approx 1.0833 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \zeta\left(5\right) \approx 1.0369\text{, }\lim_{x \to \infty} A\left(x\right) \approx 1.0379 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \zeta\left(6\right) = \frac{\pi^{6}}{945} \approx 1.0173\text{, }\lim_{x \to \infty} A\left(x\right) \approx 1.0178 \end{eqnarray}$ Je größer also die natürliche Zahl (der Exponent), desto besser die Annäherung. Toll! Das ist natürlich nichts Neues. Die im Abschnit „Numerische Berechnung“ vorgestellte Vorgehensweise mithilfe der Euler-MacLaurin-Summenformel (Link) ist genauer. Das oben Dargelegte also nur zur Info . Nun kann ich aufräumen und meine Notizblätter wegschmeißen . Gute Nacht !

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