Vollständige Induktion

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Martell Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion
Meine Frage:
Also Ich habe die Formel
mit

Diese soll ich mit vollständiger Induktion beweisen

Meine Ideen:
Ich habe die einzelnen Schritte gemacht und komme am Ende auf eine Formel die ich dann noch umformen muss jedoch denke ich, dass ich einen Fehler gemacht habe nur finde ich ihn nicht...


Die Formel die ich am Ende habe lautet:


und das kann ja irgendwie nicht richtig sein oder übersehe ich da was ?
Das bringt mich irgendwie durcheinander aber ich muss ja für k n+1 einsetzten und da im Exponenten von b n-k steht würde das n wegfallen

Bei Bedarf kann ich auch die einzelnen Schritte aufschreiben aber ich wollte erst mal so fragen weil das so viel Arbeit wäre
Magix Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Martell,

Vielleicht solltest du tatsächlich zeigen, wie du bei der Induktion vorgehst.
Martell Auf diesen Beitrag antworten »

Als erstes muss ich das ja für n=0 zeigen womit die Gleichung erfüllt ist.
Anschließend kommt der induktionsschritt mit der Voraussetzung dass es für alle n gilt.

Um das zu beweisen muss ich das für n+1 durchführen:

Also muss ich auf kommen

Um in der Summe von n+1 wieder auf n zu kommen rechne ich so:

Ich habe also alle k mit n+1 eingesetzt und dies an die normale summe über n angehängt.

Jetzt kann ich den vorderen Teil der Gleichung, Also:


mit , da dies ja die Anfangsgleichung ist

so komme ich auf die Gleichung die ich oben erwähnt habe
mrdo87 Auf diesen Beitrag antworten »

kurzer Input von mir, bin dann aber gleich wieder raus:

Zitat:


hier fehlt eine Klammer:

mrdo87 Auf diesen Beitrag antworten »

Außerdem musst du beachten, dass der Faktor auch beim hinteren Teil beachtet werden muss


jetzt bin ich wieder raus Wink
Martell Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ist doch garnicht in der Summe wieso muss das mit beachtet werden ? verwirrt
 
 
mrdo87 Auf diesen Beitrag antworten »

du bist ja mit gestartet.

und hast du Summe umgeschrieben zu:



->

Der Faktor steht doch vor der kompletten Summe, die du umgeformt hast.
Martell Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du recht geschockt danke für die Korrektur
jedoch komme ich dadurch immer noch nicht auf das richtige Ergebnis traurig
entweder mache ich am ende bei der Umformung etwas falsch oder ich habe vorher irgendwo einen Fehler gemacht
mrdo87 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe leider auch einen Fehler übersehen, leider gaaaanz am Anfang:

Zitat:


du musst im Induktionsschritt natürlich jedes n um eins erhöhen. Also auch das in der Summe:

Martell Auf diesen Beitrag antworten »

Oh wie konnte ich das denn übersehen geschockt

sieht denn meine Umformung so dann richtig aus ?

mrdo87 Auf diesen Beitrag antworten »

fast perfekt, im hinteren Teil müsste also nur noch raus kommen
Martell Auf diesen Beitrag antworten »

Hab es jetzt richtig raus bekommen Tanzen Tanzen


DANKE DANKE DANKE Gott Gott
mrdo87 Auf diesen Beitrag antworten »

optimal Freude Wink
Induktionsgast Auf diesen Beitrag antworten »

Na ihr,
Wink
Mit dieser Aufgabe hab ich auch noch bisschen zu kämpfen.

bei mir sieht das so aus:
Ansatz für I-Schritt



Ich packe dann den (n+1)ten summanden hinter die Summe.



Um dann die Induktionsvorraussetzung anwenden zu können, ziehe ich den Faktor b vor die Summe (damit das +1 im Exponenten verschwindet).




Induk.Vor. angewandt und...



Tja... und da habe ich jetzt schon ne Weile dran herummultipliziert und herumfaktorisiert
Ich komme nicht auf das ersehnte



verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Induktionsgast
Um dann die Induktionsvorraussetzung anwenden zu können, ziehe ich den Faktor b vor die Summe (damit das +1 im Exponenten verschwindet).


Hier ist die Klammersetzung mangelhaft. Korrekt ist:

Zitat:
Original von Induktionsgast
Induk.Vor. angewandt und...


Vorsicht! Bevor du die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst, mußt du erst das (a-b) in die Klammer reinmultiplizieren. Wirf dazu auch nochmal einen Blick auf die Induktionsvoraussetzung. Augenzwinkern
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Ein kleiner Einwurf von mir an dieser Stelle:
Zitat:
Original von Martell
Anschließend kommt der induktionsschritt mit der Voraussetzung dass es für alle n gilt.

Ein sehr verbreiteter Irrtum. Wenn man voraussetzt, dass die Aussage für alle n gilt, muss man ja nichts mehr zeigen. In der Induktionsvoraussetzung setzt man voraus, dass die Aussage für ein (festes, aber beliebiges) n gilt und zeigt, dass dann die Aussage auch für n+1 gilt.
Induktionsgast Auf diesen Beitrag antworten »

Ja... Klammer gehört natürlich zur Induk.Voraussetzung. und wird mit ersetzt. Hammer

Die sich ergebende Zeile



auszumultiplizieren führt dann unmittelbar zum Ziel.

Danke
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