Ungleichung mit Wurzel - Loesung finden

31.10.2015, 15:39

Benmania

Ungleichung mit Wurzel - Loesung finden

Meine Frage:
Hallo,

ich moechte fuer folgende Ungleichung das kritische $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ bestimmten, fuer welches die folgende Ungleichung korrekt ist.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{12.25 \beta^{2} + \beta +1 } > (3- \frac{1}{2} \beta) , \forall 0 < \beta\leq 1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Quadrieren ist keine Aequivalenzumformung. Aber folgt aus obiger Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 12.25 \beta^{2} + \beta +1 > (3- \frac{1}{2} \beta)^{2} , \forall 0 < \beta\leq 1 \end{eqnarray*}$

weil $\begin{eqnarray*} 0 < \beta\leq 1 \end{eqnarray*}$ ?

Dann koennte ich mit Mitternachtsformel nach $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ aufloesen.

$\begin{eqnarray*} \beta^* > \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ .

31.10.2015, 15:55

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Benmania
$\begin{eqnarray*} \sqrt{12.25 \beta^{2} + \beta +1 } > (3- \frac{1}{2} \beta) , \forall 0 < \beta\leq 1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Quadrieren ist keine Aequivalenzumformung. Aber folgt aus obiger Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 12.25 \beta^{2} + \beta +1 > (3- \frac{1}{2} \beta)^{2} , \forall 0 < \beta\leq 1 \end{eqnarray*}$

weil $\begin{eqnarray*} 0 < \beta\leq 1 \end{eqnarray*}$ ?

In diesem Kontext $\begin{eqnarray*} 0 < \beta\leq 1 \end{eqnarray*}$ ist das Quadrieren eine Äquivalenzumformung - Begründung:

Für all diese $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} 3- \frac{1}{2} \beta > 0 \end{eqnarray*}$ , d.h., es stehen auf beiden Seiten der Ungleichung sicher nichtnegative Zahlen, die diesbezüglich keine Probleme machen. Augenzwinkern

Aber gut, dass du dir dieser Problematik bewusst bist, so viele gehen darüber gedankenlos hinweg. Freude

Zitat:

Original von Benmania
Dann koennte ich mit Mitternachtsformel nach $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ aufloesen.

Wobei noch anzumerken ist, dass es auch noch einen Lösungsbereich dieser quadratischen Ungleichung gibt, der vollständig im Negativen liegt und damit für dein Problem irrelevant ist.

Neue Frage »

Antworten »

Ungleichung mit Wurzel - Loesung finden

Verwandte Themen