Zeigen, dass Funktion mit Wurzel streng monoton steigend ist

31.10.2015, 16:51

Benmania

Zeigen, dass Funktion mit Wurzel streng monoton steigend ist

Ich moechte zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} S(\beta)= \frac{-3 + \frac{1}{2} \beta + \sqrt{12.25 \beta^2 + \beta + 1}}{4+4\beta}, \forall 0< \beta < 1 \end{eqnarray*}$

streng monoton steigend in $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ist.

Ich bin mir nicht sicher, wie ich das am elegantesten mache.

Mein bisheriger Ansatz sieht so aus. Ich bilde die partielle Ableitung:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{S(\beta)}{\partial \beta} = \frac{[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}a^{-.5}(24.5\beta+1)]\cdot(4+4\beta)-[-3+\frac{1}{2}\beta+\sqrt{a}] \cdot 4}{(4+4\beta)^2}<br /> \end{eqnarray*}$

wo $\begin{eqnarray*} a \equiv 12.25 \beta^2 + \beta +1 \end{eqnarray*}$

Diese muss strikt groesser als 0 sein.

Das gilt, wenn der Zaehler strikt positiv ist, d.h. $\begin{eqnarray*} [\frac{1}{2}+\frac{1}{2}a^{-.5}(24.5\beta+1)]\cdot(4+4\beta)-[-3+\frac{1}{2}\beta+\sqrt{a}] \cdot 4 >0 \end{eqnarray*}$

Das kann ich in zwei Schritten zeigen naemlich, wenn gilt (1) und (2) gilt.

(1) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}a^{-.5}(24.5\beta+1)\cdot(4+4\beta)> \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot(4+4\beta)-[-3+\frac{1}{2}\beta+\sqrt{a}] \cdot 4 \ge -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

(1) kann man einfach zeigen - naemlich:
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (24.5\beta+1)\cdot(2+2\beta)> \sqrt{2} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 49\beta^2+51\beta+2> \sqrt{24.5 \beta^2 +2 \beta +2}, \forall 0< \beta < 1 \end{eqnarray*}$

(2) kann man auch einfach zeigen - naemlich:
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 14-4\sqrt{a}\ge -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a}\le \Leftrightarrow \frac{14+\sqrt{2}}{4} \end{eqnarray*}$

beachte, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ strikt steigend in $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ist. Selbst, wenn man $\begin{eqnarray*} \beta=1 \end{eqnarray*}$ einsetzt, ist (2) erfuellt, weil

$\begin{eqnarray*} \sqrt{14.25}\le \frac{14+\sqrt{2}}{4} \end{eqnarray*}$

Stimmt das? Gibt es einen eleganteren Weg?

31.10.2015, 18:16

DrummerS

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RE: Zeigen, dass Funktion mit Wurzel streng monoton steigend ist

Zitat:

Original von Benmania
....Gibt es einen eleganteren Weg?

Alternativ zum Ableiten kannst du hier auch $\begin{eqnarray*} S(\beta) \end{eqnarray*}$ in Summanden aufteilen und diese auf streng monotone Steigung untersuchen. Den Summanden mit der Wurzel könntest du quadrieren, danach in Summanden unterteilen und diese ebenso entsprechend untersuchen.

Beispiel: Summand 1 (mit x > 0)

$\begin{eqnarray*} \frac{-3}{4\left(1+\beta\right)} > \frac{-3}{4\left(1+\left(\beta+x\right)\right)} \Leftrightarrow \frac{1}{\left(1+\beta\right)} > \frac{1}{\left(1+ \left(\beta+x\right)\right)} \end{eqnarray*}$

Da der gekürzte Koeffizient negativ ist, ist dieser Summand streng monoton steigend.

Summand 2 (mit x > 0)....

Deinen Rechenweg habe ich bisher nicht überprüft. Da darf sich auch gerne jemand anderes beteiligen smile

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