Beweis Vektorprodukt: Äquivalenz zweier Definitionen

31.10.2015, 17:41	chama	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Vektorprodukt: Äquivalenz zweier Definitionen Meine Frage: Hallo Ich soll folgende Aufgabe lösen: Zeigen Sie, dass die beiden Definitionen des Vektorprodukts $\begin{eqnarray} \vec{a} \times \vec{b} \equiv \begin{vmatrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} \equiv \| \vec{a} \| \| \vec{b} \| \sin(\gamma ) \vec{e_{ab} } \end{eqnarray}$ äquivalent sind, wobei $\begin{eqnarray} \vec{e_{ab}} \end{eqnarray}$ der Einheitsvektor ist, der senkrecht auf der von $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ aufgespannten Ebene ist (3-Finger-Regel) Meine Ideen: Ich scheiter hier deutlich an der Formalität. Ich weiß einfach nicht wie ich so einen Beweis richtig aufschreibe. Was ich versucht habe ist das über $\begin{eqnarray} \| \vec{a} \times \vec{b} \| = \| \vec{a} \| \| \vec{b} \| \sin(\gamma ) \end{eqnarray}$ zu zeigen und dann $\begin{eqnarray} \| \vec{a} \times \vec{b} \| \vec{e_{ab} } = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ aber der letzte Teil kommt mir ziemlich falsch vor und entspricht glaube ich auch nicht wirklich dem was in der Aufgabe verlangt wird. Ich hoffe ihr könnt mir helfen und schonmal danke im vorraus
31.10.2015, 23:07	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Determinante wird mittels des Entwicklungssatzes nach den Elementen der ersten Zeile in zweireihige Determianten zerlegt: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = \vec{e_{x}} \cdot (a_yb_z - a_zb_y) + \vec{e_{y}} \cdot (a_zb_x - a_xb_z) + \vec{e_{z}} \cdot (a_xb_y - a_yb_x) \end{eqnarray}$ Die zu beweisende Gleichung wird quadriert, damit werden in der Folge alle Quadrate der Einheitsvektoren zu 1 Anmerkung: Durch das Quadrieren eines Vektors wird auf das Quadrat seines Betrages übergegangen. $\begin{eqnarray} \left(\begin{vmatrix} \vec{e_x} & \vec{e_y} & \vec{e_z} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}\right)^2 = \|\vec a\|^2 \|\vec b\|^2 \sin^2(\gamma ) \vec{e_{ab}}^2 \end{eqnarray}$ Die rechte Seite der Gleichung wird umgeformt, indem $\begin{eqnarray} \sin \gamma \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \cos \gamma \end{eqnarray}$ ersetzt wird, mit dem Ziel, anstatt der Winkelfunktion die Beziehung des skalaren Produktes* mit ins Spiel zu bringen: () $\begin{eqnarray} \vec a \cdot \vec b = \|\vec a\| \|\vec b\| \cdot \cos \gamma \to (\vec a \cdot \vec b)^2 = \|\vec a\|^2 \|\vec b\|^2 \cdot \cos^2 \gamma \end{eqnarray}$ Somit ist $\begin{eqnarray} \|\vec{a}\|^2 \|\vec{b}\|^2 \sin^2(\gamma ) \vec{e_{ab}}^2 = \|\vec a\|^2 \|\vec b\|^2 \cdot (1 - \cos^2 \gamma) = \|\vec a\|^2 \|\vec b\|^2 - \|\vec a\|^2 \|\vec b\|^2 \cos^2 \gamma = \|\vec a\|^2 \|\vec b\|^2 - (\vec a \cdot \vec b)^2 \end{eqnarray}$ Letztendlich bringt das Gleichsetzen der Quadrate beider Seiten $\begin{eqnarray} (a_yb_z - a_zb_y)^2 + (a_zb_x - a_xb_z)^2 + (a_xb_y - a_yb_x)^2 = \|\vec a\|^2 \|\vec b\|^2 - (\vec a \cdot \vec b)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (a_yb_z - a_zb_y)^2 + (a_zb_x - a_xb_z)^2 + (a_xb_y - a_yb_x)^2 = (a_x^2 + a_y^2 + a_z^2) \cdot (b_x^2 + b_y^2 + b_z^2) - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z)^2 \end{eqnarray*}$ Nun sind die Terme aufzulösen und die Gleichheit beider Seiten zu zeigen. mY+

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